Inegalitatea reamenajării

Inegalitatea rearanjării constă în observarea că produsul scalar dintre doi vectori este maxim (resp. Minim) atunci când componentele vectorilor sunt ordonate în același mod (resp. Opus).

Dacă componentele vectorilor a și b sunt

a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n}}

b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}

{\ displaystyle b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

{\ displaystyle b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

asa de

a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}}

este valoarea maximă pe care o poate lua produsul scalar dintre cei doi vectori (când componentele sunt ordonate în același mod) e

a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{1}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {n} + a_ {2} b_ {n-1} + \ cdots + a_ {n} b_ {1}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {n} + a_ {2} b_ {n-1} + \ cdots + a_ {n} b_ {1}}

este valoarea minimă pe care o poate asuma.

Demonstrație

Procedăm în mod absurd: să presupunem că valoarea maximă pe care o poate asuma produsul scalar nu poate fi obținută cu componentele vectorilor a și b , ordonate în același mod:

a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n}}

b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}

{\ displaystyle b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

{\ displaystyle b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

Sa spunem: $a_{p}\geq \ a_{m}$ ${\ displaystyle a_ {p} \ geq \ a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {p} \ geq \ a_ {m}}$ Și : $b_{p}\leq \ b_{m}$ ${\ displaystyle b_ {p} \ leq \ b_ {m}}$ ${\ displaystyle b_ {p} \ leq \ b_ {m}}$ (având în vedere meciurile: $a_{a}=a_{1},a_{b}=a_{2}...$ ${\ displaystyle a_ {a} = a_ {1}, a_ {b} = a_ {2} ...}$ ${\ displaystyle a_ {a} = a_ {1}, a_ {b} = a_ {2} ...}$ Și $b_{a}=b_{1},b_{b}=b_{2}...$ ${\ displaystyle b_ {a} = b_ {1}, b_ {b} = b_ {2} ...}$ ${\ displaystyle b_ {a} = b_ {1}, b_ {b} = b_ {2} ...}$ )

\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \ \sum _{k\not \equiv \ m,p}^{n}a_{k}b_{k}+a_{p}b_{m}+a_{m}b_{p}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ leq \ \ sum _ {k \ not \ equiv \ m, p} ^ {n} a_ {k} b_ { k} + a_ {p} b_ {m} + a_ {m} b_ {p}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ leq \ \ sum _ {k \ not \ equiv \ m, p} ^ {n} a_ {k} b_ { k} + a_ {p} b_ {m} + a_ {m} b_ {p}}

multe elemente din prima serie se anulează cu toate elementele celei de-a doua:

a_{p}b_{p}+a_{m}b_{m}\leq \ a_{p}b_{m}+a_{m}b_{p}

{\ displaystyle a_ {p} b_ {p} + a_ {m} b_ {m} \ leq \ a_ {p} b_ {m} + a_ {m} b_ {p}}

{\ displaystyle a_ {p} b_ {p} + a_ {m} b_ {m} \ leq \ a_ {p} b_ {m} + a_ {m} b_ {p}}

a_{p}(b_{m}-b_{p})+a_{m}(b_{p}-b_{m})\geq \ 0

{\ displaystyle a_ {p} (b_ {m} -b_ {p}) + a_ {m} (b_ {p} -b_ {m}) \ geq \ 0}

{\ displaystyle a_ {p} (b_ {m} -b_ {p}) + a_ {m} (b_ {p} -b_ {m}) \ geq \ 0}

a_{p}(b_{m}-b_{p})-a_{m}(b_{m}-b_{p})\geq \ 0

{\ displaystyle a_ {p} (b_ {m} -b_ {p}) - a_ {m} (b_ {m} -b_ {p}) \ geq \ 0}

{\ displaystyle a_ {p} (b_ {m} -b_ {p}) - a_ {m} (b_ {m} -b_ {p}) \ geq \ 0}

(a_{p}-a_{m})(b_{m}-b_{p})\geq \ 0

{\ displaystyle (a_ {p} -a_ {m}) (b_ {m} -b_ {p}) \ geq \ 0}

{\ displaystyle (a_ {p} -a_ {m}) (b_ {m} -b_ {p}) \ geq \ 0}

Această inegalitate este întotdeauna adevărată în condițiile inițiale $a_{p}\geq \ a_{m}$ ${\ displaystyle a_ {p} \ geq \ a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {p} \ geq \ a_ {m}}$ Și $b_{p}\leq \ b_{m}$ ${\ displaystyle b_ {p} \ leq \ b_ {m}}$ ${\ displaystyle b_ {p} \ leq \ b_ {m}}$

Acest lucru arată că nu este posibil să crească produsul printr-un schimb simplu $a_{n}b_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} b_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n} b_ {n}}$ când componentele a și b nu sunt ordonate în același mod.

Demonstrația ar trebui încheiată arătând că pentru fiecare lanț comercial mai mare de 2, majorarea nu este posibilă.

Utilizare

Această inegalitate poate fi utilizată pentru a demonstra unele mai complexe, cum ar fi inegalitatea medie aritmetică și geometrică, inegalitatea Cauchy-Schwarz și inegalitatea Čebyšëv pe sumă .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică