Inegalitatea lui Čebyšëv asupra sumei

În matematică , inegalitatea lui Čebyšëv pe sumă , care poartă numele de Pafnutij L'vovič Čebyšëv , stabilește că dacă:

a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad; \ quad b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad; \ quad b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

asa de:

n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)

{\ displaystyle n \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ geq \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right) \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} \ right)}

{\ displaystyle n \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ geq \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right) \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} \ right)}

În mod similar, dacă:

a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad; \ quad b_ {1} \ leq b_ {2} \ leq \ cdots \ leq b_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad; \ quad b_ {1} \ leq b_ {2} \ leq \ cdots \ leq b_ {n}}

asa de:

n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)

{\ displaystyle n \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ leq \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right) \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} \ right)}

{\ displaystyle n \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} \ leq \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right) \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} \ right)}

sau mai bine:

{\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {(a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n})} {n}} \ geq {\ frac {(a_ {1} + \ cdots + a_ {n})} {n}} \ cdot {\ frac {(b_ {1} + \ cdots + b_ {n})} {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {(a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n})} {n}} \ geq {\ frac {(a_ {1} + \ cdots + a_ {n})} {n}} \ cdot {\ frac {(b_ {1} + \ cdots + b_ {n})} {n}}}

Demonstrație

Inegalitatea Čebyšëv pe sumă rezultă din inegalitatea rearanjării . Să presupunem că aveți:

a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad; \ quad b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n} \ quad; \ quad b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}}

pentru inegalitatea de rearanjare avem că:

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}}

este valoarea maximă asumată de produsul scalar între cele două secvențe. Asa de:

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} = a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} = a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}}

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ geq a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {3} + \ cdots + a_ {n} b_ {1}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ geq a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {3} + \ cdots + a_ {n} b_ {1}}

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ geq a_ {1} b_ {3} + a_ {2} b_ {4} + \ cdots + a_ {n} b_ {2}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ geq a_ {1} b_ {3} + a_ {2} b_ {4} + \ cdots + a_ {n} b_ {2}}

\cdots

{\ displaystyle \ cdots}

\ cdots

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+\cdots +a_{n}b_{n-1}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ geq a_ {1} b_ {n} + \ cdots + a_ {n} b_ {n-1}}

{\ displaystyle a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ geq a_ {1} b_ {n} + \ cdots + a_ {n} b_ {n-1}}

adăugând toate aceste inegalități obținem:

n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n})

{\ displaystyle n (a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}) \ geq (a_ {1} + \ cdots + a_ {n}) (b_ {1} + \ cdots + b_ {n})}

{\ displaystyle n (a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}) \ geq (a_ {1} + \ cdots + a_ {n}) (b_ {1} + \ cdots + b_ {n})}

și împărțind la $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ :

{\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {(a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n})} {n}} \ geq {\ frac {(a_ {1} + \ cdots + a_ {n})} {n}} \ cdot {\ frac {(b_ {1} + \ cdots + b_ {n})} {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {(a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ {n})} {n}} \ geq {\ frac {(a_ {1} + \ cdots + a_ {n})} {n}} \ cdot {\ frac {(b_ {1} + \ cdots + b_ {n})} {n}}}

Inegalitate în funcții

Există, de asemenea, o versiune continuă a inegalității lui Čebyšëv: dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții reale și integrabile în $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , ambele crescând sau ambele descrescând, atunci:

\int fg\geq \int f\int g

{\ displaystyle \ int fg \ geq \ int f \ int g}

{\ displaystyle \ int fg \ geq \ int f \ int g}

Acest lucru poate fi generalizat la integrale în orice alt spațiu, precum și la produse numărabile de integrale.

Bibliografie

( RO ) Gradshteyn, IS și Ryzhik, IM Tables of Integrals, Series și Products, ediția a VI-a . San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
( EN ) GH Hardy, JE Littlewood și G. Pólya, Inegalități , Cambridge Mathematical Library, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35880-9 , MR 0944909 .
( EN ) Hardy, GH; Littlewood, JE; și Pólya, G. Inegalități, ed . a II-a . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.

Elemente conexe

Inegalitatea reamenajării

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Chebyshev Sum Inequality in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică