Ecuația Lane-Emden

Soluții ale ecuației Lane-Emden pentru n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

În astrofizică , ecuația Lane-Emden este o formă adimensională a ecuației Poisson pentru potențialul gravitațional al unui fluid poltropic , auto-gravitativ, sferic simetric. Acesta poartă numele astrofizicienilor Jonathan Homer Lane și Robert Emden . ^[1] Ecuația este

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left ({\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}} \ right) + \ theta ^ {n} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left ({\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}} \ right) + \ theta ^ {n} = 0,}

unde este $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ este o rază adimensională și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ se referă la densitate și, prin urmare, la presiune, via $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$ pentru densitatea centrului $\rho _{c}$ ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$ . Indicele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este indexul poltropic care apare în ecuația de stare poltropică,

P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,

{\ displaystyle P = K \ rho ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \,}

{\ displaystyle P = K \ rho ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \,}

unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ sunt respectiv presiunea și densitatea și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o constantă de proporționalitate. Condițiile limită standard sunt $\theta (0)=1$ ${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$ ${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$ Și $\theta '(0)=0$ ${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$ ${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$ . Soluțiile descriu apoi tendința de presiune și densitate cu raza și sunt cunoscute sub denumirea de polipropici $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Dacă luăm în considerare un fluid izotermic (cu un indice poltropic care tinde spre infinit) în loc de unul poltropic, obținem ecuația Emden-Chandrasekhar.

Aplicații

Fizic, echilibrul hidrostatic conectează gradientul de potențial, densitatea și gradientul de presiune, în timp ce ecuația Poisson conectează potențialul cu densitatea. Prin urmare, dacă avem o ecuație suplimentară care dictează modul în care presiunea și densitatea variază una față de alta, se poate obține o soluție. Alegerea unui gaz poltropic conduce la ecuația Lane - Emden. Ecuația este o aproximare utilă pentru sferele de plasmă auto-gravitante, cum ar fi stelele, dar de obicei este o presupunere destul de limitată.

Derivare

Din echilibru hidrostatic

Luați în considerare un fluid autogravitant simetric sferic în echilibru hidrostatic . Masa este conservată și, prin urmare, se menține ecuația de continuitate

{\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho

{\ displaystyle {\ frac {dm} {dr}} = 4 \ pi r ^ {2} \ rho}

{\ displaystyle {\ frac {dm} {dr}} = 4 \ pi r ^ {2} \ rho}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este o funcție a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Ecuația echilibrului hidrostatic este

{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} = - {\ frac {Gm} {r ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} = - {\ frac {Gm} {r ^ {2}}}}

unde și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este o funcție a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Realizarea derivatului din nou produce

{\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} \ right) & = {\ frac {2Gm} {r ^ {3}}} - {\ frac {G} {r ^ {2}}} {\ frac {dm} {dr}} \\ & = - {\ frac {2} {\ rho r}} {\ frac {dP} {dr}} - 4 \ pi G \ rho \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} \ right) & = {\ frac {2Gm} {r ^ {3}}} - {\ frac {G} {r ^ {2}}} {\ frac {dm} {dr}} \\ & = - {\ frac {2} {\ rho r}} {\ frac {dP} {dr}} - 4 \ pi G \ rho \ end {align}}}

unde ecuația de continuitate a fost utilizată pentru a înlocui gradientul de masă. Prin multiplicarea ambilor membri ai $r^{2}$ ${\ displaystyle r ^ {2}}$ $r ^ {2}$ și colectarea derivaților de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în stânga, puteți scrie

r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho

{\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} \ right) + {\ frac { 2r} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} = {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {r ^ {2}} {\ rho}} {\ frac { dP} {dr}} \ right) = - 4 \ pi Gr ^ {2} \ rho}

{\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} \ right) + {\ frac { 2r} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}} = {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {r ^ {2}} {\ rho}} {\ frac { dP} {dr}} \ right) = - 4 \ pi Gr ^ {2} \ rho}

Împărțiți ambii membri cu $r^{2}$ ${\ displaystyle r ^ {2}}$ $r ^ {2}$ dă, într-un sens, o formă dimensională a ecuației dorite. Dacă, în plus, substituim ecuația de stare poltropică cu $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ ${\ displaystyle P = K \ rho _ {c} ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \ theta ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle P = K \ rho _ {c} ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \ theta ^ {n + 1}}$ Și $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$ , da

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} K \ rho _ {c} ^ {\ frac {1} { n}} (n + 1) {\ frac {d \ theta} {dr}} \ right) = - 4 \ pi G \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} K \ rho _ {c} ^ {\ frac {1} { n}} (n + 1) {\ frac {d \ theta} {dr}} \ right) = - 4 \ pi G \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}

Colectarea constantelor și substituirea $r=\alpha \xi$ ${\ displaystyle r = \ alpha \ xi}$ ${\ displaystyle r = \ alpha \ xi}$ , unde este

\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,

{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = (n + 1) K \ rho _ {c} ^ {{\ frac {1} {n}} - 1} / 4 \ pi G,}

{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = (n + 1) K \ rho _ {c} ^ {{\ frac {1} {n}} - 1} / 4 \ pi G,}

avem ecuația Lane-Emden,

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left ({\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}} \ right) + \ theta ^ {n} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left ({\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}} \ right) + \ theta ^ {n} = 0}

Din ecuația Poisson

Putem începe într-un mod echivalent cu ecuația Poisson ,

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {d \ Phi} {dr}} \ right) = 4 \ pi G \ rho}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {d \ Phi} {dr}} \ right) = 4 \ pi G \ rho}

Gradientul potențial poate fi înlocuit folosind echilibrul hidrostatic, prin intermediul:

{\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ Phi} {dr}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ Phi} {dr}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dP} {dr}}}

ceea ce duce în mod similar la forma dimensională a ecuației Lane - Emden.

Soluții exacte

Pentru o anumită valoare a indexului poltropic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , denotăm soluția la ecuația Lane-Emden ca $\theta _{n}(\xi )$ ${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ xi)}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ xi)}$ . În general, ecuația Lane - Emden trebuie rezolvată numeric pentru a găsi $\theta _{n}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ , dar există soluții exacte și analitice pentru $n=0,1,5$ ${\ displaystyle n = 0,1,5}$ ${\ displaystyle n = 0,1,5}$ . Cu toate acestea, pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ între 0 și 5, soluțiile sunt continue și finite, iar raza stelei este dată de

R=\alpha \xi _{1}

{\ displaystyle R = \ alpha \ xi _ {1}}

{\ displaystyle R = \ alpha \ xi _ {1}}

,

unde este $\theta _{n}(\xi _{1})=0$ ${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ xi _ {1}) = 0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ xi _ {1}) = 0}$ .

Pentru o anumită soluție $\theta _{n}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ , profilul densității este dat de

\rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta _ {n} ^ {n}}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} \ theta _ {n} ^ {n}}

.

Masa totală $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ a unei stele date se obține prin integrarea densității de la 0 la $\xi _{1}$ ${\ displaystyle \ xi _ {1}}$ $\ xi_1$ .

Presiunea poate fi găsită folosind ecuația de stare poltropică, $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}$ ${\ displaystyle P = K \ rho ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}}$ ${\ displaystyle P = K \ rho ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}}$ , adică

P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}

{\ displaystyle P = K \ rho _ {c} ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \ theta _ {n} ^ {n + 1}}

{\ displaystyle P = K \ rho _ {c} ^ {1 + {\ frac {1} {n}}} \ theta _ {n} ^ {n + 1}}

În cele din urmă, dacă gazul este perfect , ecuația stării este $P=k_{B}\rho T/\mu$ ${\ displaystyle P = k_ {B} \ rho T / \ mu}$ ${\ displaystyle P = k_ {B} \ rho T / \ mu}$ , unde este $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ este constanta Boltzmann e $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ masa moleculară medie. Prin urmare, profilul de temperatură este dat de

T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}

{\ displaystyle T = {\ frac {K \ mu} {k_ {B}}} \ rho _ {c} ^ {1 / n} \ theta _ {n}}

{\ displaystyle T = {\ frac {K \ mu} {k_ {B}}} \ rho _ {c} ^ {1 / n} \ theta _ {n}}

Așa cum s-a indicat mai sus, ecuația Lane-Emden poate fi integrată numai pentru trei valori ale indicelui poltropic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Pentru n = 0

De sine $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ , ecuația devine

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ dreapta) + 1 = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ dreapta) + 1 = 0}

Reordonând și integrând, ajungem la

\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}

{\ displaystyle \ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} = C_ {1} - {\ frac {1} {3}} \ xi ^ {3}}

{\ displaystyle \ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} = C_ {1} - {\ frac {1} {3}} \ xi ^ {3}}

Împărțiți ambii membri cu $\xi ^{2}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {2}}$ și integrarea din nou oferă

\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = C_ {0} - {\ frac {C_ {1}} {\ xi}} - {\ frac {1} {6}} \ xi ^ {2}}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = C_ {0} - {\ frac {C_ {1}} {\ xi}} - {\ frac {1} {6}} \ xi ^ {2}}

Condițiile la graniță $\theta (0)=1$ ${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$ ${\ displaystyle \ theta (0) = 1}$ Și $\theta '(0)=0$ ${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$ ${\ displaystyle \ theta '(0) = 0}$ implică faptul că constantele de integrare sunt $C_{0}=1$ ${\ displaystyle C_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle C_ {0} = 1}$ Și $C_{1}=0$ ${\ displaystyle C_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle C_ {1} = 0}$ . Prin urmare,

\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = 1 - {\ frac {1} {6}} \ xi ^ {2}}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = 1 - {\ frac {1} {6}} \ xi ^ {2}}

Pentru n = 1

Cand $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , ecuația poate fi dezvoltată sub formă

{\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ xi ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ xi}} {\ frac {d \ theta} {d \ xi} } + \ theta = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {d \ xi ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ xi}} {\ frac {d \ theta} {d \ xi} } + \ theta = 0}

Soluția se presupune a fi o serie de puteri:

\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ xi ^ {n}}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ xi ^ {n}}

Acest lucru duce la o relație recursivă pentru coeficienții de dezvoltare:

a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}

{\ displaystyle a_ {n + 2} = - {\ frac {a_ {n}} {(n + 3) (n + 2)}}}

{\ displaystyle a_ {n + 2} = - {\ frac {a_ {n}} {(n + 3) (n + 2)}}}

Această relație poate fi rezolvată prin obținerea soluției generale:

\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = a_ {0} {\ frac {\ sin \ xi} {\ xi}} + a_ {1} {\ frac {\ cos \ xi} {\ xi}}}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = a_ {0} {\ frac {\ sin \ xi} {\ xi}} + a_ {1} {\ frac {\ cos \ xi} {\ xi}}}

Condiția la limită pentru un poliprop fizic necesită acest lucru $\theta (\xi )\rightarrow 1$ ${\ displaystyle \ theta (\ xi) \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle \ theta (\ xi) \ rightarrow 1}$ pentru $\xi \rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ xi \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle \ xi \ rightarrow 0}$ . Acest lucru necesită acest lucru $a_{0}=1,a_{1}=0$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = 0}$ , ajungând astfel la soluție:

\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = {\ frac {\ sin \ xi} {\ xi}}}

{\ displaystyle \ theta (\ xi) = {\ frac {\ sin \ xi} {\ xi}}}

Pentru n = 5

Începem de la ecuația Lane - Emden:

{\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ right) + \ theta ^ {5} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ theta} {d \ xi}} \ right) + \ theta ^ {5} = 0}

Rescriere pentru ${\frac {d\theta }{d\xi }}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {d \ xi}}}$ primesti: