Faza de fructe de padure

Faza Berry , introdusă de fizicianul britanic Michael Berry , este faza dobândită de o stare cuantică în urma unei variații adiabatice ciclice a hamiltonienului care descrie dinamica sistemului. Această fază este, de asemenea, numită fază geometrică, deoarece depinde de geometria spațiului de stare cuantică pentru sistemul în cauză, spre deosebire de faza dinamică care este dobândită de un stat propriu al hamiltonienului în timpul evoluției sale temporale , dictată de soluția ecuația Schrödinger .

Definiție

Luați în considerare un sistem descris de un hamiltonian ${\mathit {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}}}$ și dintr-o stare cuantică $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ . să presupunem că ${\mathit {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}}}$ depinde de un parametru real λ și că acesta variază în timp. Pornind de la o situație inițială care vede sistemul în eigenstate - lea al M 'hamiltonianul ${\mathit {H}}{\bigl (}\lambda (t_{0}){\bigr )}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}} {\ bigl (} \ lambda (t_ {0}) {\ bigr)}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}} {\ bigl (} \ lambda (t_ {0}) {\ bigr)}}$ , În cazul în care variația parametrului este suficient de lent, teorema adiabatic stabilește că la un moment ulterior t sistemul va fi în continuare în th eigenstate a m- noii hamiltonianul $\mathrm {H} {\bigl (}\lambda (t){\bigr )}$ ${\ displaystyle \ mathrm {H} {\ bigl (} \ lambda (t) {\ bigr)}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {H} {\ bigl (} \ lambda (t) {\ bigr)}}$ .

În formule:

{\bigl |}\psi (t){\bigr \rangle }=e^{i\theta (t)}{\bigl |}\psi (t_{0}){\bigr \rangle }=e^{i\theta (t)}{\bigl |}m(t_{0}){\bigr \rangle }=\mathrm {exp} {\bigg (}{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}E_{m}{\bigl (}\lambda (t'){\bigr )}\,\mathrm {d} t'{\bigg )}e^{i\gamma (t)}{\bigl |}m(t_{0}){\bigr \rangle }

{\ displaystyle {\ bigl |} \ psi (t) {\ bigr \ rangle} = e ^ {i \ theta (t)} {\ bigl |} \ psi (t_ {0}) {\ bigr \ rangle} = e ^ {i \ theta (t)} {\ bigl |} m (t_ {0}) {\ bigr \ rangle} = \ mathrm {exp} {\ bigg (} {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} E_ {m} {\ bigl (} \ lambda (t ') {\ bigr)} \, \ mathrm {d} t' {\ bigg)} e ^ { i \ gamma (t)} {\ bigl |} m (t_ {0}) {\ bigr \ rangle}}

{\ displaystyle {\ bigl |} \ psi (t) {\ bigr \ rangle} = e ^ {i \ theta (t)} {\ bigl |} \ psi (t_ {0}) {\ bigr \ rangle} = e ^ {i \ theta (t)} {\ bigl |} m (t_ {0}) {\ bigr \ rangle} = \ mathrm {exp} {\ bigg (} {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} E_ {m} {\ bigl (} \ lambda (t ') {\ bigr)} \, \ mathrm {d} t' {\ bigg)} e ^ { i \ gamma (t)} {\ bigl |} m (t_ {0}) {\ bigr \ rangle}}

,

unde în ordine s-au folosit teorema adiabatică, condiția inițială și o rescriere convenabilă a fazei dobândite pentru a distinge contribuția dinamică de cea geometrică $\gamma (t)$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma (t)}$ ; acesta din urmă definește faza Berry.

Rotiți într-un câmp magnetic

Așa cum s-a definit aici, faza Berry este un simplu artificiu formal, deoarece nu este garantat să fie diferit de zero pentru niciun sistem fizic real. Un exemplu concret în care apare această fază este obținut luând în considerare o particulă de spin $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ interacționând într-un câmp magnetic $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Hamiltonianul acestei interacțiuni este dat de

{\mathit {H}}=\alpha {\vec {S}}\cdot {\vec {B}}

{\ displaystyle {\ mathit {H}} = \ alpha {\ vec {S}} \ cdot {\ vec {B}}}

{\ displaystyle {\ mathit {H}} = \ alpha {\ vec {S}} \ cdot {\ vec {B}}}

,

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o constantă convenabilă, ${\vec {S}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}}}$ este rotirea particulei e ${\vec {B}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ campul; în acest caz, câmpul este considerat ca parametru pentru hamiltonian. Să presupunem că la început este paralel cu axa $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și că sistemul se află în autostat de $S_{z}$ ${\ displaystyle S_ {z}}$ ${\ displaystyle S_ {z}}$ relativ la valoarea proprie $m\hbar$ ${\ displaystyle m \ hbar}$ ${\ displaystyle m \ hbar}$ (care este și un stat propriu al energiei); se poate arăta apoi că faza Berry a câmpului asociată cu o cale închisă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este dat de

\gamma (C)=m\int _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} B}{B^{2}}}=m\Omega (\Sigma )

{\ displaystyle \ gamma (C) = m \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ mathrm {d} B} {B ^ {2}}} = m \ Omega (\ Sigma)}

{\ displaystyle \ gamma (C) = m \ int _ {\ Sigma} {\ frac {\ mathrm {d} B} {B ^ {2}}} = m \ Omega (\ Sigma)}

unde este $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ este o suprafață care are $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ca graniță și este indicat cu $\Omega (\Sigma )$ ${\ displaystyle \ Omega (\ Sigma)}$ ${\ displaystyle \ Omega (\ Sigma)}$ unghiul solid al acelei suprafețe.

Aplicații

Faza Berry a fost utilizată pentru a descrie efectul Aharonov-Bohm și efectul Jahn-Teller .

Elemente conexe

Efect Aharonov-Bohm

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica