Factorul Fano

Factorul Fano este un coeficient de variație introdus în 1947 de fizicianul Ugo Fano . ^[1]

Este un factor de corecție care leagă varianța unei statistici Poisson de varianța măsurată experimental: ^[2]

F={\frac {\sigma _{sper}^{2}}{\sigma _{pois}^{2}}}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ sigma _ {sper} ^ {2}} {\ sigma _ {pois} ^ {2}}}}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ sigma _ {sper} ^ {2}} {\ sigma _ {pois} ^ {2}}}}

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ indică factorul Fano,

\sigma _{sper}^{2}

{\ displaystyle \ sigma _ {sper} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sigma _ {sper} ^ {2}}

indică varianța experimentală măsurată,

\sigma _{pois}^{2}

{\ displaystyle \ sigma _ {pois} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sigma _ {pois} ^ {2}}

indică varianța teoretică poissoniană.

Utilizare

Distribuția Poisson , aproximată cu Gaussian , pentru valorile energetice măsurate de un detector și FWHM , fără corectarea factorului Fano.

Distribuția Poisson , aproximată cu Gaussian , pentru valorile energetice măsurate de un detector și FWHM , cu corecția factorului Fano. În exemplul specific din figură,

F=0,16\ ({\sqrt {F}}=0,4)\ .

{\ displaystyle F = 0,16 \ ({\ sqrt {F}} = 0,4) \.}

{\ displaystyle F = 0,16 \ ({\ sqrt {F}} = 0,4) \.}

La măsurarea rezoluției de energie a unui semiconductor sau a unui detector de gaz , se găsește o valoare mai mică decât predicția teoretică datorată statisticii Poissonian . Deoarece procesele de ionizare nu sunt complet independente, ci legate de cochiliile electronice discrete, nu este posibil să se utilizeze statistica poissoniană și, prin urmare, trebuie introdusă o corecție.

Să luăm în considerare un fascicul de particule ionizante incidente pe detector, fiecare cu energie E. Notat cu w energia de ionizare a materialului, adică energia necesară pentru a produce o singură ionizare (generarea de perechi ion-electron), numărul mediu de ionizări (de perechi) produse de o singură particulă ionizantă este de așteptat să fie: ^{[3 ]}

N={\frac {E}{w}}

{\ displaystyle N = {\ frac {E} {w}}}

{\ displaystyle N = {\ frac {E} {w}}}

Conform statisticii Poissonian , a cărei distribuție are proprietatea că varianța este numerică egală cu valoarea așteptată , al cărei estimator este valoarea medie, care în acest caz este N , varianța este dată de:

\sigma _{pois}^{2}=N

{\ displaystyle \ sigma _ {pois} ^ {2} = N}

{\ displaystyle \ sigma _ {pois} ^ {2} = N}

.

Varianța corectată cu factorul Fano se dovedește a fi:

\sigma ^{2}=F\ N

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = F \ N}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = F \ N}

.

Când valoarea medie N este foarte mare, distribuția Poisson poate fi aproximată cu distribuția normală al cărei curs este descris de un Gauss . În cazul vârfurilor de energie gaussiene , relația dintre FWHM și deviația standard este utilizată pentru a calcula rezoluția energiei $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ :

FWHM\approx 2,35\ \sigma

{\ displaystyle FWHM \ approx 2,35 \ \ sigma}

{\ displaystyle FWHM \ approx 2,35 \ \ sigma}

.

Rețineți că, până la acest punct al discuției, din punctul de vedere al analizei dimensionale , deoarece N și F sunt numere pure, așa sunt și ele $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ și FWHM . Din acest motiv, dacă ne interesează abaterea standard sau FWHM a distribuției valorilor de energie măsurate de detector, pentru a obține o energie este necesar să înmulțim aceste numere pure cu energia w corespunzătoare unei eveniment de ionizare unică:

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma (E)=\sigma \ w

{\ displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sigma (E) = \ sigma \ w}

{\ displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sigma (E) = \ sigma \ w}

FWHM(E)\approx 2,35\ \sigma (E)=2,35\ \sigma \ w\ .

{\ displaystyle FWHM (E) \ approx 2,35 \ \ sigma (E) = 2,35 \ \ sigma \ w \.}

{\ displaystyle FWHM (E) \ approx 2,35 \ \ sigma (E) = 2,35 \ \ sigma \ w \.}

Rezoluția procentuală a energiei este raportul dintre FWHM și valoarea energetică E corespunzătoare vârfului în distribuția valorilor măsurate de detector:

R={\frac {FWHM(E)}{E}}\approx {\frac {2,35\ \sigma (E)}{E}}

{\ displaystyle R = {\ frac {FWHM (E)} {E}} \ approx {\ frac {2,35 \ \ sigma (E)} {E}}}

{\ displaystyle R = {\ frac {FWHM (E)} {E}} \ approx {\ frac {2,35 \ \ sigma (E)} {E}}}

iar din relațiile anterioare obținem:

R\approx {\frac {2,35\ \sigma \ w}{E}}\approx {\frac {2,35\ {\sqrt {F\ N}}\ w}{N\ w}}={\frac {2,35{\sqrt {FN}}}{N}}\ .

{\ displaystyle R \ approx {\ frac {2,35 \ \ sigma \ w} {E}} \ approx {\ frac {2,35 \ {\ sqrt {F \ N}} \ w} {N \ w} } = {\ frac {2,35 {\ sqrt {FN}}} {N}} \.}

{\ displaystyle R \ approx {\ frac {2,35 \ \ sigma \ w} {E}} \ approx {\ frac {2,35 \ {\ sqrt {F \ N}} \ w} {N \ w} } = {\ frac {2,35 {\ sqrt {FN}}} {N}} \.}

În cele din urmă, rezoluția procentuală a energiei se dovedește a fi: ^[3] ^[4] ^[5]

R=2,35{\sqrt {\frac {F}{N}}}=2,35{\sqrt {\frac {F\ w}{E}}}

{\ displaystyle R = 2.35 {\ sqrt {\ frac {F} {N}}} = 2.35 {\ sqrt {\ frac {F \ w} {E}}}}

{\ displaystyle R = 2.35 {\ sqrt {\ frac {F} {N}}} = 2.35 {\ sqrt {\ frac {F \ w} {E}}}}

.

Valoare

Factorul Fano este un coeficient numeric între 0 și 1: valoarea depinde de materialul care alcătuiește detectorul, în special cu cât valoarea este mai mică, cu atât rezoluția detectorului este mai bună. Factorul Fano este o caracteristică importantă a materialelor care alcătuiesc detectoarele de particule, a fost calculat pentru siliciu și germaniu care alcătuiesc diferitele tipuri de detectoare semiconductoare ^[6] și pentru diferite amestecuri de gaze nobile ( Argon , Xenon , Krypton ) utilizat în detectoarele de gaze . ^[4] ^[5] ^[7] ^[8]

Notă

^ (EN) U. Fano, Ionization Yield of Radiations. II. Fluctuațiile numărului de ioni , fizic. Rev. 72, 26, 1 iulie 1947, DOI : 10.1103 / PhysRev.72.26 .
^ Universitatea din Liverpool - Factorul Fano
^ ^a ^b William R. Leo, Tehnici pentru experimentele de fizică nucleară și de particule: A - Cum să abordăm , ISBN 978-3540572800 .
^ ^a ^b Factorul Fano - valori măsurate pentru amestecuri de gaze nobile , pe arpg-serv.ing2.uniroma1.it . Adus la 18 martie 2021 .
^ ^a ^b Factorul Fano - valori măsurate pentru amestecuri de gaze nobile Arhivat 26 decembrie 2014 în Arhiva Internet .
^ (EN) BG Lowe, Măsurători ale factorilor Fano în siliciu și germaniu în regiunea cu raze X cu energie redusă , 11 noiembrie 1997 DOI : 10.1016 / S0168-9002 (97) 00965-0 .
^ (EN) M. Kase, T. Akioka, H. Mamyoda *, J. Kikuchi, T. Doke, Fano factor in pure argon , Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment 227 (2): 311, 15 noiembrie 1984, DOI : 10.1016 / 0168-9002 (84) 90139-6 .
^ (EN) Do Carmo, SJC; Borges, FIGM; Vinagre, FLR; Conde, CAN, Studiu experimental al valorilor w și factorilor Fano ai amestecurilor de xenon gazos și Ar-Xe pentru raze X , IEEE Transactions on Nuclear Science 55 (5): 2637, 2008, DOI : 10.1109 / TNS . 2008.2003075 .

Elemente conexe

Portal de statistici : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de statistici

[1] (EN) U. Fano, Ionization Yield of Radiations. II. Fluctuațiile numărului de ioni , fizic. Rev. 72, 26, 1 iulie 1947, DOI : 10.1103 / PhysRev.72.26 .

[2] Universitatea din Liverpool - Factorul Fano

[Leo-3] William R. Leo, Tehnici pentru experimentele de fizică nucleară și de particule: A - Cum să abordăm , ISBN 978-3540572800 .

[uniroma-4] Factorul Fano - valori măsurate pentru amestecuri de gaze nobile , pe arpg-serv.ing2.uniroma1.it . Adus la 18 martie 2021 .

[pcaen-5] Factorul Fano - valori măsurate pentru amestecuri de gaze nobile Arhivat 26 decembrie 2014 în Arhiva Internet .

[Lowe-6] (EN) BG Lowe, Măsurători ale factorilor Fano în siliciu și germaniu în regiunea cu raze X cu energie redusă , 11 noiembrie 1997 DOI : 10.1016 / S0168-9002 (97) 00965-0 .

[7] (EN) M. Kase, T. Akioka, H. Mamyoda *, J. Kikuchi, T. Doke, Fano factor in pure argon , Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment 227 (2): 311, 15 noiembrie 1984, DOI : 10.1016 / 0168-9002 (84) 90139-6 .

[8] (EN) Do Carmo, SJC; Borges, FIGM; Vinagre, FLR; Conde, CAN, Studiu experimental al valorilor w și factorilor Fano ai amestecurilor de xenon gazos și Ar-Xe pentru raze X , IEEE Transactions on Nuclear Science 55 (5): 2637, 2008, DOI : 10.1109 / TNS . 2008.2003075 .

[1]

[2]

[3 ]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]