Funcția radială de bază

Două funcții radiale de bază gaussiene non-normalizate, în cazul unidimensional. Centrele au coordonate

{\textstyle x_{1}=0.75}

{\ textstyle x_ {1} = 0,75}

{\ textstyle x_ {1} = 0,75}

Și

{\textstyle x_{2}=3.25}

{\ textstyle x_ {2} = 3,25}

{\ textstyle x_ {2} = 3,25}

.

O funcție de bază radială sau Funcția de bază radială (în limba engleză radial base function, RBF) este o funcție cu valoare reală $f(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x})}$ $f ({\ mathbf {x}})$ a cărei valoare depinde numai de distanța dintre argument $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ funcție și un punct setat $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ a domeniului . Funcțiile pentru care $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ corespunde originii sunt cunoscute sub numele de funcții radiale .

Funcțiile radiale de bază se numesc așa deoarece o colecție de RBF poate fi utilizată ca bază pentru aproximarea unei funcții arbitrare, motiv pentru care au fost introduse în 1988 de David Broomhead și David Lowe în formularea rețelelor neuronale radiale , ^{[ 1]} ^[2] care extinde activitatea seminală a lui Michael JD Powell în 1977. ^[3] ^[4] ^[5] Funcțiile radiale de bază pot fi folosite și ca nuclee în mașinile vectoriale de sprijin . ^[6]

Aproximarea funcției

Funcțiile bazei radiale sunt de obicei utilizate pentru a construi aproximări ale funcției în formă

y\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|\right),

{\ displaystyle y \ left (\ mathbf {x} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \, \ phi \ left (\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {i} \ right \ | \ right),}

{\ displaystyle y \ left (\ mathbf {x} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \, \ phi \ left (\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {i} \ right \ | \ right),}

unde aproximantul ${\textstyle y\left(\mathbf {x} \right)}$ ${\ textstyle y \ left (\ mathbf {x} \ right)}$ ${\ textstyle y \ left (\ mathbf {x} \ right)}$ are forma unei sume de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ funcții radiale de bază, fiecare asociată cu un centru diferit ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\ textstyle \ mathbf {x} _ {i}}$ ${\ textstyle \ mathbf {x} _ {i}}$ și ponderat de un coeficient ${\textstyle w_{i}}$ ${\ textstyle w_ {i}}$ ${\ textstyle w_ {i}}$ . În construcția aproximării, greutățile ${\textstyle w_{i}}$ ${\ textstyle w_ {i}}$ ${\ textstyle w_ {i}}$ poate fi estimat cu metoda liniară a celor mai mici pătrate. Printre cele mai comune familii de funcții radiale de bază se numără gaussienii $\phi \left(r\right)=e^{-\left(\varepsilon r\right)^{2}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = e ^ {- \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = e ^ {- \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}$ , multiquadricul $\phi \left(r\right)={\sqrt {1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = {\ sqrt {1+ \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = {\ sqrt {1+ \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}}$ , cvadratice invers $\phi \left(r\right)={\dfrac {1}{1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = {\ dfrac {1} {1+ \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = {\ dfrac {1} {1+ \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}}$ , multiquadricul invers $\phi \left(r\right)={\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(\varepsilon r\right)^{2}}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1+ \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1+ \ left (\ varepsilon r \ right) ^ {2}}}}}$ , spline poliarmonice $\phi \left(r\right)r^{k},k=1,3,5,\dotsc ;\,\phi \left(r\right)r^{k}\ln \left(r\right),k=2,4,6,\dotsc$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) r ^ {k}, k = 1,3,5, \ dotsc; \, \ phi \ left (r \ right) r ^ {k} \ ln \ left ( r \ dreapta), k = 2,4,6, \ dotsc}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) r ^ {k}, k = 1,3,5, \ dotsc; \, \ phi \ left (r \ right) r ^ {k} \ ln \ left ( r \ dreapta), k = 2,4,6, \ dotsc}$ și spline subțiri de plăci $\phi \left(r\right)=r^{2}\ln \left(r\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = r ^ {2} \ ln \ left (r \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left (r \ right) = r ^ {2} \ ln \ left (r \ right)}$ (indicând pentru comoditate cu ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x_{i}} \right\|}$ ${\ textstyle r = \ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x_ {i}} \ right \ |}$ ${\ textstyle r = \ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x_ {i}} \ right \ |}$ ).

Rețele neuronale bazate pe radiale

Același subiect în detaliu: rețea neuronală bazată pe radiale .

Suma $y\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,\phi \left(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|\right),$ ${\ displaystyle y \ left (\ mathbf {x} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \, \ phi \ left (\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {i} \ right \ | \ right),}$ ${\ displaystyle y \ left (\ mathbf {x} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \, \ phi \ left (\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {i} \ right \ | \ right),}$ poate fi interpretat ca o rețea neuronală artificială cu un singur strat, numită rețea neuronală bazată pe radiale , unde funcțiile radiale de bază sunt funcțiile de ardere ale neuronilor. Se arată că orice funcție continuă pe suport compact poate fi interpolată cu precizie arbitrară prin intermediul unui aproximant în această formă, pentru o valoare de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ suficient de ridicat. $y\left(\mathbf {x} \right)$ ${\ displaystyle y \ left (\ mathbf {x} \ right)}$ ${\ displaystyle y \ left (\ mathbf {x} \ right)}$ este diferențiat în ceea ce privește greutățile $w_{i}$ ${\ displaystyle w_ {i}}$ ${\ displaystyle w_ {i}}$ , care poate fi apoi învățat din model prin metode iterative, cum ar fi propagarea înapoi a erorilor . O aproximare de acest tip oferă rezultate rezonabile atâta timp cât funcțiile radiale de bază acoperă întregul domeniu.

Notă

^ Rețele de funcții bazale radiale Arhivat 23 aprilie 2014 la Internet Archive .
^ David H. Broomhead și David Lowe, Interpolare funcțională multivariabilă și rețele adaptive ( PDF ), în Sisteme complexe , vol. 2, 1988, pp. 321–355 (arhivat din original la 14 iulie 2014) .
^ Michael JD Powell , Proceduri de repornire pentru metoda gradientului conjugat ( PDF ), în Mathematical Programming , vol. 12, nr. 1, Springer, 1977, pp. 241-254, DOI : 10.1007 / bf01593790 .
^ Ferat Sahin, A Radial Basis Function Approach to a Color Image Classification Problem in a Real Time Industrial Application ( PDF ), Virginia Tech , 1997, p. 26. Adus la 8 iulie 2018 (arhivat din original la 26 octombrie 2015) .
"Funcțiile bazei radiale au fost introduse pentru prima dată de Powell pentru a rezolva problema reală de interpolare multivariată." .
^ Broomhead și Lowe , p. 347 : „Am dori să mulțumim profesorului MJD Powell de la Departamentul de matematică aplicată și fizică teoretică de la Universitatea Cambridge pentru că a oferit stimulul inițial pentru această lucrare.”
^ Jake VanderPlas, Introduction to Support Vector Machines , la beta.oreilly.com , [O'Reilly], 6 mai 2015. Accesat la 14 mai 2015 (arhivat din original la 5 septembrie 2015) .

Bibliografie

Martin D. Buhmann, Funcții de bază radială: teorie și implementări , Cambridge University Press , 2003, ISBN 978-0-521-63338-3 .
RL Hardy, ecuații multicadricale de topografie și alte suprafețe neregulate , în Journal of Geophysical Research , vol. 76, nr. 8, 1971, pp. 1905–1915, Bibcode : 1971JGR .... 76.1905H , DOI : 10.1029 / jb076i008p01905 .
RL Hardy, Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988 , în Comp.math Applic , vol. 19, nr. 8/9, 1990, pp. 163–208, DOI : 10.1016 / 0898-1221 (90) 90272-l .
WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling și BP Flannery, Secțiunea 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation , in Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing , 3rd, New York, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8 .
Sirayanone, S., 1988, Studii comparative de kriging, multiquadric-biharmonic și alte metode pentru rezolvarea problemelor de resurse minerale, dr. Disertație, Departamentul de Științe ale Pământului, Universitatea de Stat din Iowa, Ames, Iowa.
S. Sirayanone și RL Hardy, Metoda multiquadric-biharmonică utilizată pentru resurse minerale, meteorologice și alte aplicații , în Journal of Applied Sciences and Computations , vol. 1, 1995, pp. 437–475.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rețele de funcții bazale radiale Arhivat 23 aprilie 2014 la Internet Archive .

[2] David H. Broomhead și David Lowe, Interpolare funcțională multivariabilă și rețele adaptive ( PDF ), în Sisteme complexe , vol. 2, 1988, pp. 321–355 (arhivat din original la 14 iulie 2014) .

[3] Michael JD Powell , Proceduri de repornire pentru metoda gradientului conjugat ( PDF ), în Mathematical Programming , vol. 12, nr. 1, Springer, 1977, pp. 241-254, DOI : 10.1007 / bf01593790 .

[4] Ferat Sahin, A Radial Basis Function Approach to a Color Image Classification Problem in a Real Time Industrial Application ( PDF ), Virginia Tech , 1997, p. 26. Adus la 8 iulie 2018 (arhivat din original la 26 octombrie 2015) .
"Funcțiile bazei radiale au fost introduse pentru prima dată de Powell pentru a rezolva problema reală de interpolare multivariată." .

[CITEREFBroomheadLowe1988-5] Broomhead și Lowe , p. 347 : „Am dori să mulțumim profesorului MJD Powell de la Departamentul de matematică aplicată și fizică teoretică de la Universitatea Cambridge pentru că a oferit stimulul inițial pentru această lucrare.”

[6] Jake VanderPlas, Introduction to Support Vector Machines , la beta.oreilly.com , [O'Reilly], 6 mai 2015. Accesat la 14 mai 2015 (arhivat din original la 5 septembrie 2015) .

[ 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]