Identitate Woodbury

În matematică , în special în algebra liniară , identitatea matricei Woodbury sau lema de inversare a matricei ^[1] pentru matricile cu aspect n × n este dată de următoarea formulă:

\left({\textrm {A}}+{\textrm {UC}}{\textrm {V}}\right)^{-1}={\textrm {A}}^{-1}-{\textrm {A}}^{-1}{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}.

{\ displaystyle \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) ^ {- 1} = {\ textrm {A}} ^ {- 1} - {\ textrm {A}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}.}

{\ displaystyle \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) ^ {- 1} = {\ textrm {A}} ^ {- 1} - {\ textrm {A}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}.}

În ea A și UCV sunt matrici de aspect n × n , în timp ce C este o matrice pătrată care poate avea un aspect diferit r × r ; în consecință U are aspect n × r și V aspect r × n .

Aplicații

Această identitate este utilă în elaborări numerice în care $\,A^{-1}$ ${\ displaystyle \, A ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \, A ^ {- 1}}$ este deja construit și este necesar să construiești $\,(A+UCV)^{-1}$ ${\ displaystyle \, (A + UCV) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \, (A + UCV) ^ {- 1}}$ . Este avantajos atunci când A este preponderent numeric față de UCV, care poate fi considerat o mică perturbare . Mai mult, dacă extensia lui C este mult mai mică decât cea a lui A ( r mult mai mică decât n ), putem obține al doilea membru inversând doar două matrice de extensie redusă.

Această procedură este aplicată, de exemplu, în filtrul Kalman și în alte metode de estimare a celor mai mici pătrate , pentru a înlocui soluția parametrică, care necesită inversarea unei matrice pătrate a unui ordin dat de dimensiunile unui vector de stare, cu o soluție pe baza ecuațiilor de condiție. În cazul filtrului Kalman, această matrice are dimensiunile vectorului de observații, până la 1 dacă este procesată o singură observație nouă pe schimbare. Folosirea identității Woodbury accelerează semnificativ calculele filtrelor care trebuie făcute în timp real.

Demonstrație

Să luăm în considerare următoarea ecuație:

{\begin{bmatrix}{\textrm {A}}&{\textrm {U}}\\{\textrm {V}}&-{\textrm {C}}^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\textrm {D}}_{11}&{\textrm {D}}_{12}\\{\textrm {D}}_{21}&{\textrm {D}}_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\textrm {I}}&0\\0&{\textrm {I}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ textrm {A}} & {\ textrm {U}} \\ {\ textrm {V}} & - {\ textrm {C}} ^ {- 1} \ end { bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ textrm {D}} _ {11} & {\ textrm {D}} _ {12} \\ {\ textrm {D}} _ {21} & {\ textrm { D}} _ {22} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ textrm {I}} și 0 \\ 0 & {\ textrm {I}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ textrm {A}} & {\ textrm {U}} \\ {\ textrm {V}} & - {\ textrm {C}} ^ {- 1} \ end { bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ textrm {D}} _ {11} & {\ textrm {D}} _ {12} \\ {\ textrm {D}} _ {21} & {\ textrm { D}} _ {22} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ textrm {I}} și 0 \\ 0 & {\ textrm {I}} \ end {bmatrix}}}

Transcriem acest lucru folosind patru ecuații:

{\begin{matrix}{\textrm {AD}}_{11}+{\textrm {UD}}_{21}&=&{\textrm {I}}\\{\textrm {AD}}_{12}+{\textrm {UD}}_{22}&=&0\\{\textrm {VD}}_{11}-{\textrm {C}}^{-1}{\textrm {D}}_{21}&=&0\\{\textrm {VD}}_{12}-{\textrm {C}}^{-1}{\textrm {D}}_{22}&=&{\textrm {I}}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ textrm {AD}} _ {11} + {\ textrm {UD}} _ {21} & = & {\ textrm {I}} \\ {\ textrm {AD} } _ {12} + {\ textrm {UD}} _ {22} & = & 0 \\ {\ textrm {VD}} _ {11} - {\ textrm {C}} ^ {- 1} {\ textrm {D}} _ {21} & = & 0 \\ {\ textrm {VD}} _ {12} - {\ textrm {C}} ^ {- 1} {\ textrm {D}} _ {22} și = & {\ textrm {I}} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ textrm {AD}} _ {11} + {\ textrm {UD}} _ {21} & = & {\ textrm {I}} \\ {\ textrm {AD} } _ {12} + {\ textrm {UD}} _ {22} & = & 0 \\ {\ textrm {VD}} _ {11} - {\ textrm {C}} ^ {- 1} {\ textrm {D}} _ {21} & = & 0 \\ {\ textrm {VD}} _ {12} - {\ textrm {C}} ^ {- 1} {\ textrm {D}} _ {22} și = & {\ textrm {I}} \ end {matrix}}}

Dintre acestea, sunt necesare doar primul și al treilea.

Adăugăm al treilea la primul după înmulțire cu ${\textrm {UC}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {UC}}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {UC}}}$ :

\left({\textrm {A}}+{\textrm {UC}}{\textrm {V}}\right){\textrm {D}}_{11}={\textrm {I}}\,\Rightarrow \,{\textrm {D}}_{11}=\left({\textrm {A}}+{\textrm {UC}}{\textrm {V}}\right)^{-1}

{\ displaystyle \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) {\ textrm {D}} _ {11} = {\ textrm {I}} \, \ Rightarrow \, {\ textrm {D}} _ {11} = \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) ^ {- 1 }}

{\ displaystyle \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) {\ textrm {D}} _ {11} = {\ textrm {I}} \, \ Rightarrow \, {\ textrm {D}} _ {11} = \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) ^ {- 1 }}

În acest moment, scădem primul din al treilea după înmulțire cu ${\textrm {VA}}^{-1}$ ${\ displaystyle {\ textrm {VA}} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {VA}} ^ {- 1}}$ :

\left(-{\textrm {C}}^{-1}-{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right){\textrm {D}}_{21}=-{\textrm {VA}}^{-1}\,\Rightarrow \,{\textrm {D}}_{21}=\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}

{\ displaystyle \ left (- {\ textrm {C}} ^ {- 1} - {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) {\ textrm {D}} _ {21} = - {\ textrm {VA}} ^ {- 1} \, \ Rightarrow \, {\ textrm {D}} _ {21} = \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ left (- {\ textrm {C}} ^ {- 1} - {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) {\ textrm {D}} _ {21} = - {\ textrm {VA}} ^ {- 1} \, \ Rightarrow \, {\ textrm {D}} _ {21} = \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}}

Să revenim la substituirea în prima ecuație:

{\textrm {AD}}_{11}+{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}={\textrm {I}}\,\Rightarrow {\textrm {D}}_{11}={\textrm {A}}^{-1}-{\textrm {A}}^{-1}{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}

{\ displaystyle {\ textrm {AD}} _ {11} + {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1} = {\ textrm {I}} \, \ Rightarrow {\ textrm {D}} _ {11} = {\ textrm {A}} ^ {- 1} - {\ textrm {A}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + { \ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}}

{\ displaystyle {\ textrm {AD}} _ {11} + {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1} = {\ textrm {I}} \, \ Rightarrow {\ textrm {D}} _ {11} = {\ textrm {A}} ^ {- 1} - {\ textrm {A}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + { \ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}}

Acum avem două expresii diferite pentru submatrică ${\textrm {D}}_{11}$ ${\ displaystyle {\ textrm {D}} _ {11}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {D}} _ {11}}$ care ar trebui să fie identice . Avem astfel:

\left({\textrm {A}}+{\textrm {UC}}{\textrm {V}}\right)^{-1}={\textrm {A}}^{-1}-{\textrm {A}}^{-1}{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}.

{\ displaystyle \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) ^ {- 1} = {\ textrm {A}} ^ {- 1} - {\ textrm {A}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}.}

{\ displaystyle \ left ({\ textrm {A}} + {\ textrm {UC}} {\ textrm {V}} \ right) ^ {- 1} = {\ textrm {A}} ^ {- 1} - {\ textrm {A}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ left ({\ textrm {C}} ^ {- 1} + {\ textrm {VA}} ^ {- 1} {\ textrm {U}} \ right) ^ {- 1} {\ textrm {VA}} ^ {- 1}.}

Aceasta completează dovada.

Notă

^ Ged Ridgway, Matrix Inversion Identities ( PDF ), la www0.cs.ucl.ac.uk , Universitatea din Londra, 2006. Accesat mai 2016 (arhivat din original la 28 mai 2016) .

Elemente conexe

Complement al lui Schur

linkuri externe

( EN ) Unele identități matrice , pe ee.ic.ac.uk.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Ged Ridgway, Matrix Inversion Identities ( PDF ), la www0.cs.ucl.ac.uk , Universitatea din Londra, 2006. Accesat mai 2016 (arhivat din original la 28 mai 2016) .

[1]