Indicele Divisia

Indicele Divisia , numit după economistul francez François-Jean-Marie Divisia , este un indice definit în permanență, utilizat pentru a măsura modificările volumelor și prețurilor anumitor agregate.

Adaptările la cazul discret al indicelui Divisia și, prin urmare, aproximările empirice ale acestuia sunt:

Calculul indicelui

Valoarea unui agregat este egală cu suma cantităților elementelor care îl compun înmulțită cu prețurile respective. Indicând cu $\ X_{t}$ ${\ displaystyle \ X_ {t}}$ ${\ displaystyle \ X_ {t}}$ valoarea agregatului X la momentul t, cu $\ p_{it}$ ${\ displaystyle \ p_ {it}}$ ${\ displaystyle \ p_ {it}}$ Și $\ q_{it}$ ${\ displaystyle \ q_ {it}}$ ${\ displaystyle \ q_ {it}}$ , respectiv, prețul și cantitatea elementului i la momentul t, vom avea:

\ X_{t}=\sum _{i}p_{it}\ q_{it}

{\ displaystyle \ X_ {t} = \ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}

{\ displaystyle \ X_ {t} = \ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}

Derivați cu privire la timp și împărțiți la $\ X_{t}$ ${\ displaystyle \ X_ {t}}$ ${\ displaystyle \ X_ {t}}$ noi obținem:

{\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}{\frac {q_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {p}}_{it}+\sum _{i}{\frac {p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}{\dot {q}}_{it}

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {X}} _ {t}} {X_ {t}}} = \ sum _ {i} {\ frac {q_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}} {\ dot {p}} _ {it} + \ sum _ {i} {\ frac {p_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}} {\ dot {q}} _ {it}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {X}} _ {t}} {X_ {t}}} = \ sum _ {i} {\ frac {q_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}} {\ dot {p}} _ {it} + \ sum _ {i} {\ frac {p_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}} {\ dot {q}} _ {it}}

unde este $\ {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {x}} = {\ frac {dx} {dt}}}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {x}} = {\ frac {dx} {dt}}}$ .

Din ecuația anterioară obținem:

{\frac {{\dot {X}}_{t}}{X_{t}}}=\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {p}}_{it}}{p_{it}}}+\sum _{i}v_{it}{\frac {{\dot {q}}_{it}}{q_{it}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {X}} _ {t}} {X_ {t}}} = \ sum _ {i} v_ {it} {\ frac {{\ dot {p}} _ { it}} {p_ {it}}} + \ sum _ {i} v_ {it} {\ frac {{\ dot {q}} _ {it}} {q_ {it}}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {X}} _ {t}} {X_ {t}}} = \ sum _ {i} v_ {it} {\ frac {{\ dot {p}} _ { it}} {p_ {it}}} + \ sum _ {i} v_ {it} {\ frac {{\ dot {q}} _ {it}} {q_ {it}}}}

unde este $\ v_{it}$ ${\ displaystyle \ v_ {it}}$ ${\ displaystyle \ v_ {it}}$ este ponderea lui i pe total în perioada t, adică:

v_{it}={\frac {q_{it}p_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}

{\ displaystyle v_ {it} = {\ frac {q_ {it} p_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}}}

{\ displaystyle v_ {it} = {\ frac {q_ {it} p_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}}}

Fiind:

{\frac {d\log x}{dt}}={\frac {\dot {x}}{x}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ log x} {dt}} = {\ frac {\ dot {x}} {x}}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ log x} {dt}} = {\ frac {\ dot {x}} {x}}}

o formulare alternativă este:

(1)

\ {\frac {d\log X_{t}}{dt}}=\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {p}_{it}}{dt}}+\sum _{i}v_{it}\ {\frac {d\log {q}_{it}}{dt}}

{\ displaystyle \ {\ frac {d \ log X_ {t}} {dt}} = \ sum _ {i} v_ {it} \ {\ frac {d \ log {p} _ {it}} {dt} } + \ sum _ {i} v_ {it} \ {\ frac {d \ log {q} _ {it}} {dt}}}

{\ displaystyle \ {\ frac {d \ log X_ {t}} {dt}} = \ sum _ {i} v_ {it} \ {\ frac {d \ log {p} _ {it}} {dt} } + \ sum _ {i} v_ {it} \ {\ frac {d \ log {q} _ {it}} {dt}}}

În ecuațiile anterioare, primul adaos reprezintă modificarea agregatului observabil în urma modificării prețurilor, cantitățile fiind constante, în timp ce al doilea înregistrează modificările atribuibile modificărilor volumelor, prețurile fiind constante.

În cazul unui singur bun am avea: