Indicele Törnqvist

Indicele Törnqvist este un număr index utilizat în statistici și economie pentru a măsura schimbarea volumelor sau a prețurilor anumitor agregate.

În special, aceasta este o medie geometrică ponderată a indicilor de preț (sau cantitate) ale bunurilor individuale din agregat, cu ponderile ponderate constând din media aritmetică a cotelor valorice ale activului asupra valorii totale a agregatului.

Aplicarea sa este deosebit de răspândită ca un indice al cantității de intrare de muncă și de capital în studiile de analiză a productivității .

Uneori este denumit index Divisia , deoarece constituie una dintre posibilele aproximări la cazul discret al acelui index definit într-un context continuu.

Indicele prețurilor Törnqvist

Având în vedere un agregat $\ X_{t}=\sum _{i}p_{it}\ q_{it}$ ${\ displaystyle \ X_ {t} = \ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}$ ${\ displaystyle \ X_ {t} = \ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}$ , unde este $\ p_{it}$ ${\ displaystyle \ p_ {it}}$ ${\ displaystyle \ p_ {it}}$ Și $\ q_{it}$ ${\ displaystyle \ q_ {it}}$ ${\ displaystyle \ q_ {it}}$ sunt, respectiv, prețul și cantitatea bunului i la momentul t , indicele prețului Törnqvist care măsoară variația componentei de preț a agregatului între timp dacă timpul t este egal cu:

\ T_{p}(s,t)=\prod _{i}\left({\frac {p_{it}}{p_{is}}}\right)^{\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}

{\ displaystyle \ T_ {p} (s, t) = \ prod _ {i} \ left ({\ frac {p_ {it}} {p_ {is}}} \ right) ^ {\ frac {v_ {is } + v_ {it}} {2}}}

{\ displaystyle \ T_ {p} (s, t) = \ prod _ {i} \ left ({\ frac {p_ {it}} {p_ {is}}} \ right) ^ {\ frac {v_ {is } + v_ {it}} {2}}}

unde este $\ v_{it}$ ${\ displaystyle \ v_ {it}}$ ${\ displaystyle \ v_ {it}}$ este ponderea valorii activului i față de valoarea agregatului din perioada t , adică:

v_{it}={\frac {p_{it}\ q_{it}}{\sum _{i}p_{it}\ q_{it}}}

{\ displaystyle v_ {it} = {\ frac {p_ {it} \ q_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}}}

{\ displaystyle v_ {it} = {\ frac {p_ {it} \ q_ {it}} {\ sum _ {i} p_ {it} \ q_ {it}}}}

După cum sa menționat deja, indicele este o medie geometrică ponderată. Suma exponenților factorilor, care constituie greutățile de ponderare, este de fapt egală cu unitatea:

\ \sum _{i}{\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}v_{is}+\sum _{i}v_{it}\right)={\frac {1}{2}}(1+1)=1

{\ displaystyle \ \ sum _ {i} {\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i} v_ { este} + \ sum _ {i} v_ {it} \ right) = {\ frac {1} {2}} (1 + 1) = 1}

{\ displaystyle \ \ sum _ {i} {\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i} v_ { este} + \ sum _ {i} v_ {it} \ right) = {\ frac {1} {2}} (1 + 1) = 1}

Indicele este frecvent prezentat și aplicat sub formă logaritmică :

\ \ln T_{p}(s,t)=\sum _{i}\left({\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}\right)(\ln p_{it}-\ln p_{is})

{\ displaystyle \ \ ln T_ {p} (s, t) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) (\ ln p_ {it} - \ ln p_ {este})}

{\ displaystyle \ \ ln T_ {p} (s, t) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) (\ ln p_ {it} - \ ln p_ {este})}

Mai mult, din moment ce

\ \ln p_{it}-\ln p_{is}=\ln \left({\frac {p_{it}}{p_{is}}}\right)\cong {\frac {p_{it}}{p_{is}}}-1

{\ displaystyle \ \ ln p_ {it} - \ ln p_ {is} = \ ln \ left ({\ frac {p_ {it}} {p_ {is}}} \ right) \ cong {\ frac {p_ { it}} {p_ {is}}} - 1}

{\ displaystyle \ \ ln p_ {it} - \ ln p_ {is} = \ ln \ left ({\ frac {p_ {it}} {p_ {is}}} \ right) \ cong {\ frac {p_ { it}} {p_ {is}}} - 1}

indicele este adesea calculat după cum urmează:

\ \ln T_{p}(s,t)=\sum _{i}\left({\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}\right)({\frac {p_{it}}{p_{is}}}-1)

{\ displaystyle \ \ ln T_ {p} (s, t) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) ({\ frac {p_ {it}} {p_ {este}}} - 1)}

{\ displaystyle \ \ ln T_ {p} (s, t) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) ({\ frac {p_ {it}} {p_ {este}}} - 1)}

Indicele volumului Törnqvist

Indicele volumului Törnqvist , care măsoară variația componentei cantitative a agregatului între timpul s și timpul t, este, în mod similar cu ceea ce s-a văzut pentru indicele de preț corespunzător, egal cu:

\ T_{q}(s,t)=\prod _{i}\left({\frac {q_{it}}{q_{is}}}\right)^{\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}

{\ displaystyle \ T_ {q} (s, t) = \ prod _ {i} \ left ({\ frac {q_ {it}} {q_ {is}}} \ right) ^ {\ frac {v_ {is } + v_ {it}} {2}}}

{\ displaystyle \ T_ {q} (s, t) = \ prod _ {i} \ left ({\ frac {q_ {it}} {q_ {is}}} \ right) ^ {\ frac {v_ {is } + v_ {it}} {2}}}

sau, exprimând totul în formă logaritmică:

\ \ln T_{q}(s,t)=\sum _{i}\left({\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}\right)(\ln q_{it}-\ln q_{is})\cong \sum _{i}\left({\frac {v_{is}+v_{it}}{2}}\right)({\frac {q_{it}}{q_{is}}}-1)

{\ displaystyle \ \ ln T_ {q} (s, t) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) (\ ln q_ {it} - \ ln q_ {is}) \ cong \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) ({\ frac {q_ { it}} {q_ {is}}} - 1)}

{\ displaystyle \ \ ln T_ {q} (s, t) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) (\ ln q_ {it} - \ ln q_ {is}) \ cong \ sum _ {i} \ left ({\ frac {v_ {is} + v_ {it}} {2}} \ right) ({\ frac {q_ { it}} {q_ {is}}} - 1)}

Proprietățile indicelui Törnqvist

Având în vedere proprietățile dorite pe care ar trebui să le îndeplinească un număr de index , identificate de Irving Fisher și ulterior în ceea ce se numește abordarea axiomatică a numerelor de index și, în special, a celor de:

proporționalitate : dat un indice de preț (cantitate) al unui agregat dat, dacă toate prețurile (cantitățile) agregatului variază de la un anumit factor, indicele ar trebui să varieze în aceeași proporție;
invarianță (sau comensurabilitate ): indicele nu ar trebui să varieze întrucât variază unitățile de măsură ale prețurilor și cantităților;
inversarea timpului : numărul indexului între 0 și t ar trebui să fie reciproc al celui între t și 0;
inversarea factorilor : dat un agregat $\ X_{t}$ ${\ displaystyle \ X_ {t}}$ ${\ displaystyle \ X_ {t}}$ , indicele agregatului ( $\ X_{t}/X_{0}$ ${\ displaystyle \ X_ {t} / X_ {0}}$ ${\ displaystyle \ X_ {t} / X_ {0}}$ ) ar trebui să fie egală cu produsul indicelui prețurilor ( $\ P_{t}/P_{0}$ ${\ displaystyle \ P_ {t} / P_ {0}}$ ${\ displaystyle \ P_ {t} / P_ {0}}$ ) și indicele cantitativ ( $\ Q_{t}/Q_{0}$ ${\ displaystyle \ Q_ {t} / Q_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Q_ {t} / Q_ {0}}$ ), similar cu ceea ce se întâmplă în cazul unui singur bun.
circularitate : având o perioadă s, între 0 și t, numărul index între 0 și t trebuie să fie egal cu produsul numerelor index între 0 și s și între s și t.

Indicele Törnqvist satisface primele trei, dar nu și cele de inversare a factorilor și circularitate.

Trebuie remarcat faptul că, în timp ce indicii Laspeyres și Paasche satisfac doar primele două proprietăți, indicele Fisher satisface toate, cu excepția ultimei.

În ceea ce privește proprietatea circularității, deși indicele Törnqvist nu o satisface în mod formal, similar cu ceea ce se întâmplă pentru indicele Fisher, erorile din „concatenare” sunt mici. Deci, în general, va fi adevărat că:

\ T(0,t)\approx T(0,s)\cdot T(s,t)

{\ displaystyle \ T (0, t) \ approx T (0, s) \ cdot T (s, t)}

{\ displaystyle \ T (0, t) \ approx T (0, s) \ cdot T (s, t)}

Elemente conexe

Home Economics : ajuta Wikipedia prin extinderea economiei