Vector Laplacian

În matematică și fizică , vectorul operator Laplace , numit și vectorul Laplacian sau vectorul Laplacian , notat cu ${\overline {\nabla }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ nabla}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ nabla}} ^ {2}}$ , este un operator diferențial definit pe câmpuri vectoriale. Este strâns legat de Laplacianul Scalar . De fapt, ambii își datorează numele lui Pierre-Simon Laplace , un matematician și fizician francez care a studiat acești operatori. Bineînțeles, cei doi operatori diferă între ei: cel scalar funcționează pe funcții scalare și returnează un scalar; cel vector operează pe funcții vectoriale și returnează un vector.

Uneori, simbolul este folosit și pentru a indica vectorul laplacian $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ , care indică în general scalarul laplacian, căzând în posibilitatea de a crea confuzie. De obicei, în tratamentele care adoptă această notație, scalarul laplacian este indicat de simbol $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ .

Definiție

Având o funcție $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ definit într-un spațiu euclidian , vectorul Laplacian este definit ca vectorul ale cărui componente sunt Laplacianul scalar al funcțiilor componente ale $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ :

{\overline {\nabla }}^{2}\mathbf {F} =\left\{\nabla ^{2}F_{x},\nabla ^{2}F_{y},\nabla ^{2}F_{z}\right\}

{\ displaystyle {\ overline {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {F} = \ left \ {\ nabla ^ {2} F_ {x}, \ nabla ^ {2} F_ {y}, \ nabla ^ {2} F_ {z} \ right \}}

{\ displaystyle {\ overline {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {F} = \ left \ {\ nabla ^ {2} F_ {x}, \ nabla ^ {2} F_ {y}, \ nabla ^ {2} F_ {z} \ right \}}

în care am notat cu $\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2 }}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2 }}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}}$ scalarul laplacian.

Există o egalitate vectorială care leagă vectorul Laplacian de rotorul rotorului unui câmp vectorial:

\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-{\overline {\nabla }}^{2}\mathbf {F}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla \ cdot F}) - {\ overline {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {F}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla \ cdot F}) - {\ overline {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {F}}

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portalul de matematică