Matricea CKM

În Modelul standard de fizică a particulelor, matricea Cabibbo-Kobayashi-Maskawa ( matricea CKM ) este o matrice unitară care conține informații despre degradările slabe cu schimbarea aromei . Din punct de vedere tehnic, specifică cuplarea nepotrivită a stărilor cuantice ale quark-urilor , atunci când se propagă liber și când sunt implicați în interacțiuni slabe . Este important în înțelegerea încălcărilor simetriei CP .

Această matrice este generalizarea cuarkului de trei generații a matricei introdusă anterior de Nicola Cabibbo , relativ la doar două generații și dependentă de unghiul Cabibbo . Fizicienii japonezi Makoto Kobayashi și Toshihide Maskawa , care au propus generalizarea, au câștigat Premiul Nobel pentru fizică în 2008.

Matricea

Matricea Cabibbo

Unghiul Cabibbo reprezintă rotația statelor proprii de masă

\scriptstyle {|d\rangle ,\ |s\rangle }

{\ displaystyle \ scriptstyle {| d \ rangle, \ | s \ rangle}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {| d \ rangle, \ | s \ rangle}}

în stări proprii slabe

\scriptstyle {|d^{\prime }\rangle ,\ |s^{\prime }\rangle }

{\ displaystyle \ scriptstyle {| d ^ {\ prime} \ rangle, \ | s ^ {\ prime} \ rangle}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {| d ^ {\ prime} \ rangle, \ | s ^ {\ prime} \ rangle}}

. θ _C = 13,02 °.

În 1963, Nicola Cabibbo a introdus unghiul Cabibbo (θ _c ) pentru a păstra universalitatea interacțiunii slabe . ^[1] Cabibbo a fost inspirat de lucrările anterioare ale lui Murray Gell-Mann și Maurice Lévy, ^[2] despre curenții slabi vectoriali și axiali, la care se referă. ^[3]

În lumina cunoașterii timpului (nu a existat încă o teorie a quark-ului), unghiul Cabibbo este legat de probabilitatea relativă ca quark-urile descendente și ciudate să se descompună în quark-uri ascendente (| V _ud | ² și | V _us | ^{2, respectiv.} ). În jargonul fizicii particulelor, obiectul care este cuplat cu quarkul sus prin interacțiunea curentului încărcat este o suprapunere de quarkuri descendente, notate aici cu d ′ . ^[4] Matematic este dat de:

d^{\prime }=V_{ud}\,d+V_{us}\,s,

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = V_ {ud} \, d + V_ {us} \, s,}

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = V_ {ud} \, d + V_ {us} \, s,}

sau folosind unghiul Cabibbo:

d^{\prime }=\cos \theta _{\mathrm {c} }\,d+\sin \theta _{\mathrm {c} }\,s.

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = \ cos \ theta _ {\ mathrm {c}} \, d + \ sin \ theta _ {\ mathrm {c}} \, s.}

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = \ cos \ theta _ {\ mathrm {c}} \, d + \ sin \ theta _ {\ mathrm {c}} \, s.}

Utilizarea valorilor acceptate pentru | V _ud | și | V _us |, unghiul Cabibbo poate fi calculat, după cum urmează:

\tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {|V_{us}|}{|V_{ud}|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\Rightarrow \theta _{\mathrm {c} }=~13{,}02^{\circ }.

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {| V_ {us} |} {| V_ {ud} |}} = {\ frac {0.22534} {0.97427}} \ Rightarrow \ theta _ {\ mathrm {c}} = ~ 13 {,} 02 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {| V_ {us} |} {| V_ {ud} |}} = {\ frac {0.22534} {0.97427}} \ Rightarrow \ theta _ {\ mathrm {c}} = ~ 13 {,} 02 ^ {\ circ}.}

Când a fost descoperit quarkul farmecului în 1974, s-a observat că quark-urile ciudate și ciudate se pot descompune în sus sau farmec, ducând la două seturi de ecuații:

d^{\prime }=V_{ud}d+V_{us}s;

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = V_ {ud} d + V_ {us} s;}

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = V_ {ud} d + V_ {us} s;}

s^{\prime }=V_{cd}d+V_{cs}s,

{\ displaystyle s ^ {\ prime} = V_ {cd} d + V_ {cs} s,}

{\ displaystyle s ^ {\ prime} = V_ {cd} d + V_ {cs} s,}

sau, folosind unghiul Cabibbo:

d^{\prime }=\cos {\theta _{\mathrm {c} }}d+\sin {\theta _{\mathrm {c} }}s;

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} d + \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} s;}

{\ displaystyle d ^ {\ prime} = \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} d + \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} s;}

s^{\prime }=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}d+\cos {\theta _{\mathrm {c} }}s.

{\ displaystyle s ^ {\ prime} = - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} d + \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} s.}

{\ displaystyle s ^ {\ prime} = - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} d + \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} s.}

Aceste ecuații pot fi sub formă de matrice, cum ar fi:

{\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {\ prime} \\ s ^ {\ prime} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V_ {ud} & V_ {us} \\ V_ {cd } & V_ {cs} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {\ prime} \\ s ^ {\ prime} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V_ {ud} & V_ {us} \\ V_ {cd } & V_ {cs} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}},}

sau, din nou folosind unghiul Cabibbo

{\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {\ prime} \\ s ^ {\ prime} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\ - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d ^ {\ prime} \\ s ^ {\ prime} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\ - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}},}

unde i $|V_{ij}|^{2}$ ${\ displaystyle | V_ {ij} | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | V_ {ij} | ^ {2}}$ reprezintă probabilitatea ca quarkul de aromă j să se descompună într-un quark de aromă i . Această matrice 2 × 2 se numește matrice Cabibbo.

Matricea CKM

Kobayashi și Maskawa au generalizat matricea Cabibbo, ajungând la matricea CKM:

{\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {ud} & V_ {us} & V_ {ub} \\ V_ {cd} & V_ {cs} & V_ {cb} \\ V_ {td} & V_ {ts} & V_ {tb} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {ud} & V_ {us} & V_ {ub} \\ V_ {cd} & V_ {cs} & V_ {cb} \\ V_ {td} & V_ {ts} & V_ {tb} \ end {bmatrix}}}

care acționează asupra unei stări proprii a interacțiunii puternice a quarkurilor, dând o stare proprie a interacțiunii slabe a quarkurilor, după cum urmează:

{\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left|d\right\rangle \\\left|s\right\rangle \\\left|b\right\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left|d'\right\rangle \\\left|s'\right\rangle \\\left|b'\right\rangle \end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {ud} & V_ {us} & V_ {ub} \\ V_ {cd} & V_ {cs} & V_ {cb} \\ V_ {td} & V_ {ts} & V_ {tb} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ left | d \ right \ rangle \\\ left | s \ right \ rangle \\\ left | b \ right \ rangle \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} \ left | d '\ right \ rangle \\\ left | s' \ right \ rangle \\\ left | b '\ right \ rangle \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {ud} & V_ {us} & V_ {ub} \\ V_ {cd} & V_ {cs} & V_ {cb} \\ V_ {td} & V_ {ts} & V_ {tb} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ left | d \ right \ rangle \\\ left | s \ right \ rangle \\\ left | b \ right \ rangle \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} \ left | d '\ right \ rangle \\\ left | s' \ right \ rangle \\\ left | b '\ right \ rangle \ end {bmatrix}}}

Experimental, mărimile valorilor din matrice sunt aparent brute : ^[5]

{\begin{bmatrix}0{,}97383_{-0,00023}^{+0,00024}&0{,}2272_{-0,0010}^{+0,0010}&(3{,}96_{-0,09}^{+0,09})\times 10^{-3}\\0{,}2271_{-0,0010}^{+0,0010}&0{,}97296_{-0,00024}^{+0,00024}&(42{,}21_{-0,80}^{+0,10})\times 10^{-3}\\(8{,}14_{-0,64}^{+0,32})\times 10^{-3}&(41{,}61_{-0,78}^{+0,12})\times 10^{-3}&0{,}999100_{-0,000004}^{+0,000034}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 {,} 97383 _ {- 0.00023} ^ {+ 0.00024} & 0 {,} 2272 _ {- 0.0010} ^ {+ 0.0010} & (3 {,} 96 _ {- 0.09} ^ {+ 0.09}) \ times 10 ^ {- 3} \\ 0 {,} 2271 _ {- 0.0010} ^ {+ 0.0010} & 0 {,} 97296_ {-0.00024} ^ {+ 0.00024} & ( 42 {,} 21 _ {- 0.80} ^ {+ 0.10}) \ times 10 ^ {- 3} \\ (8 {,} 14_ {-0.64} ^ {+ 0.32}) \ times 10 ^ {- 3} & (41 {,} 61 _ {- 0.78} ^ {+ 0.12}) \ times 10 ^ {- 3} & 0 {,} 999100 _ {- 0.000004} ^ {+ 0.000034} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 {,} 97383 _ {- 0.00023} ^ {+ 0.00024} & 0 {,} 2272 _ {- 0.0010} ^ {+ 0.0010} & (3 {,} 96 _ {- 0.09} ^ {+ 0.09}) \ times 10 ^ {- 3} \\ 0 {,} 2271 _ {- 0.0010} ^ {+ 0.0010} & 0 {,} 97296_ {-0.00024} ^ {+ 0.00024} & ( 42 {,} 21 _ {- 0.80} ^ {+ 0.10}) \ times 10 ^ {- 3} \\ (8 {,} 14_ {-0.64} ^ {+ 0.32}) \ times 10 ^ {- 3} & (41 {,} 61 _ {- 0.78} ^ {+ 0.12}) \ times 10 ^ {- 3} & 0 {,} 999100 _ {- 0.000004} ^ {+ 0.000034} \ end {bmatrix}}}

Calcule

Pentru a continua mai departe este necesar să se calculeze numărul de parametri ai acestei matrice V. Dacă există N generații de quarks (adică 2 N arome ) atunci:

O matrice complexă N × N conține 2 N ² numere reale, adică 2 pentru fiecare dată.
Legătura unității este ${\textstyle \sum _{k}V_{ik}^{*}=\delta _{ij}}$ ${\ textstyle \ sum _ {k} V_ {ik} ^ {*} = \ delta _ {ij}}$ ${\ textstyle \ sum _ {k} V_ {ik} ^ {*} = \ delta _ {ij}}$ . Prin urmare, pentru termenii diagonalei ( $i=j$ ${\ displaystyle i = j}$ ${\ displaystyle i = j}$ ) există N constrângeri și pentru termenii rămași N (N - 1) . Numărul numerelor reale independente dintr-o matrice unitară și deci N ² .
O fază poate fi absorbită în fiecare câmp cuantic. O fază generală comună nu este observabilă. Prin urmare, există 2N - 1 mai puține numere independente, oferind un număr total de variabile libere de ( N -1) ² .
Dintre acestea, N (N - 1) / 2 sunt unghiuri de rotație numite unghiuri de amestecare a quarkului .
Restul (N - 1) (N - 2) / 2 sunt faze complexe care sunt responsabile pentru încălcarea simetriei CP .

Observații și prognoze

Ideea lui Cabibbo s-a născut din nevoia de a explica două fenomene:

tranzițiile u ↔dee ↔ν _și , _μ ↔ν _μ au extensii similare.
tranzițiile cu variații de ciudățenie ΔS = 1 au extensii egale cu 1/4 din cele cu ΔS = 0.

Soluția lui Cabibbo a fost postularea universalității slabe pentru a rezolva prima problemă, împreună cu un unghi mixt θ _c , numit unghiul Cabibbo, între _d- quarks pentru a rezolva a doua problemă.

Pentru două generații de quarks nu există faze de încălcare a CP, așa cum se arată mai sus. Întrucât încălcările CP au fost observate în decăderi neutre ale kaonului din 1964, apariția imediată ulterioară a modelului standard a fost un semn clar al existenței unei a treia generații de quarks, așa cum au subliniat Kobayashi și Maskawa. Descoperirea quarkului inferior la Fermilab (de către grupul lui Leon Max Lederman ) în 1976 a început imediat căutarea quarkului dispărut din a treia generație, quarkul superior.

Universalitate slabă

Constrângerea unității matricei CKM în termeni diagonali poate fi scrisă ca

\sum _{j}{\left|{V_{ij}}\right|^{2}}=1

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ left | {V_ {ij}} \ right | ^ {2}} = 1}

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ left | {V_ {ij}} \ right | ^ {2}} = 1}

pentru toate generațiile i . Aceasta implică faptul că suma tuturor cuplărilor oricărui quark ascendent cu quarkul descendent este aceeași pentru toate generațiile. Această relație a fost numită universalitatea interacțiunilor slabe de Nicola Cabibbo, care a raportat-o pentru prima dată în 1967. Din punct de vedere teoretic este o consecință a faptului că toate perechile SU (2) se cuplează cu aceeași forță la bosonii vectoriali ai interacțiuni slabe. A făcut obiectul unor teste experimentale repetate.

Triunghiurile unității

Restricțiile de unitaritate ale matricei CKM pot fi scrise astfel

\sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0

{\ displaystyle \ sum _ {k} V_ {ik} V_ {jk} ^ {*} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {k} V_ {ik} V_ {jk} ^ {*} = 0}

Pentru fiecare stabil i și j , aceasta este o constrângere pentru trei numere complexe, una pentru fiecare k , care spun că aceste numere constituie vârfurile unui triunghi într-un plan complex . Există șase posibilități de i și j, și apoi șase triunghiuri, fiecare dintre care se numește triunghi unitar (triunghi unitar). Forma lor poate fi foarte diferită, dar au aceeași zonă care poate fi legată de faza de încălcare a CP. Orientarea triunghiurilor depinde de fazele câmpurilor de quark.

Deoarece cele trei laturi ale triunghiurilor sunt susceptibile de verificare directă, la fel ca cele trei unghiuri, o serie de teste ale modelului standard vizează constatarea închiderii triunghiului. Acesta este scopul unei serii recente de experimente în desfășurare în Japonia ( experimentul Belle ) și California ( experimentul BaBar ).

Notă

^ Nicola Cabibbo, Unitary Symmetry and Leptonic Decays , în Physical Review Letters , vol. 10, nr. 12, 1963, pp. 531-533, Bibcode : 1963PhRvL..10..531C , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.10.531 .
^ Murray Gell-Mann și Maurice Lévy, The Vector Axial Current in Beta Decay , în Il Nuovo Cimento , vol. 16, n. 4, 1960, pp. 705-726, Bibcode : 1960NCim ... 16..705G , DOI : 10.1007 / BF02859738 .
^ Luciano Maiani, Despre Premiul Nobel pentru fizică 2008 ( PDF ), în Il Nuovo Saggiatore , vol. 25, 1-2, 2009, p. 78. Accesat la 30 noiembrie 2010 (arhivat din original la 22 iulie 2011) .
^ IS Hughes, Capitolul 11.1 - Cabibbo Mixing , în Elementary Particles , 3rd, Cambridge University Press , 1991, pp. 242-243, ISBN 978-0-521-40402-0 .
^ (EN) PDG , QUARK CKM-MIXING MATRIX (PDF), pe pdg.lbl.gov. Adus 14/04/2008 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[Cabibbo-1] Nicola Cabibbo, Unitary Symmetry and Leptonic Decays , în Physical Review Letters , vol. 10, nr. 12, 1963, pp. 531-533, Bibcode : 1963PhRvL..10..531C , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.10.531 .

[2] Murray Gell-Mann și Maurice Lévy, The Vector Axial Current in Beta Decay , în Il Nuovo Cimento , vol. 16, n. 4, 1960, pp. 705-726, Bibcode : 1960NCim ... 16..705G , DOI : 10.1007 / BF02859738 .

[3] Luciano Maiani, Despre Premiul Nobel pentru fizică 2008 ( PDF ), în Il Nuovo Saggiatore , vol. 25, 1-2, 2009, p. 78. Accesat la 30 noiembrie 2010 (arhivat din original la 22 iulie 2011) .

[Hughes-4] IS Hughes, Capitolul 11.1 - Cabibbo Mixing , în Elementary Particles , 3rd, Cambridge University Press , 1991, pp. 242-243, ISBN 978-0-521-40402-0 .

[5] (EN) PDG , QUARK CKM-MIXING MATRIX (PDF), pe pdg.lbl.gov. Adus 14/04/2008 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]