Matrice ireductibilă

În matematică , în special în algebra liniară , o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ acționând asupra unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se spune că este reductibil dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ deține un sub spațiu non-banal $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ stabil pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , adică pentru care $AV_{1}$ ${\ displaystyle AV_ {1}}$ ${\ displaystyle AV_ {1}}$ este cuprins în $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ .

Pentru fiecare matrice reductibilă există o matrice de schimbare a bazei $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ astfel încât $B^{-1}AB$ ${\ displaystyle B ^ {- 1} AB}$ ${\ displaystyle B ^ {- 1} AB}$ este o matrice bloc triunghiulară :

B^{-1}AB={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle B ^ {- 1} AB = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ 0 & A_ {22} \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle B ^ {- 1} AB = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} \\ 0 & A_ {22} \\\ end {pmatrix}}}

O matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ceea ce nu este reductibil se spune că este ireductibil .

Atenţie.

În unele contexte, o matrice reductibilă este o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru care există o matrice de permutare $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât $PAP^{-1}$ ${\ displaystyle PAP ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle PAP ^ {- 1}}$ este triunghiulară în blocuri.

Ireductibilitate și grafic asociat

Având în vedere orice matrice, pot construi un grafic având indicii matricei ca noduri: în special, nodul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -th este conectat la nod $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -thth dacă elementul $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ este diferit de $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ . Se spune că graficul asociat este puternic conectat dacă pentru fiecare pereche $(i,j)$ ${\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ Pot ajunge $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ începând de la $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . O matrice este ireductibilă dacă și numai dacă graficul de adiacență asociat cu aceasta este puternic conectat. Cu alte cuvinte, o matrice este reductibilă dacă și numai dacă graficul de adiacență asociat cu aceasta nu este puternic conectat.

Demonstrație:

Dovedesc că o matrice este reductibilă dacă și numai dacă graficul nu este puternic conectat. Observ că graficul nu se schimbă dacă permut elementele unei matrice.

Presupun că o matrice este reductibilă, așa că o pot aduce în formă

{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {11} și A_ {12} \\ 0 & A_ {22} \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {11} și A_ {12} \\ 0 & A_ {22} \\\ end {pmatrix}}}

Este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dimensiunea blocului $A_{11}$ ${\ displaystyle A_ {11}}$ ${\ displaystyle A_ {11}}$ ; nodurile graficului din $m+1$ ${\ displaystyle m + 1}$ $m + 1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de aceea nu vor fi conectați cu cei din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , deci graficul nu este puternic conectat.

În schimb, graficul să nu fie puternic conectat. Mai exact, există un nod $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ din care nu pot ajunge la un nod $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , Definesc următoarele două seturi: $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ setul de noduri accesibile din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ setul de noduri care nu pot fi accesate de la $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Observ că toate nodurile din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ nu sunt accesibile la nodurile din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Aranjez matricea astfel încât toți indicii $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ preced cele de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și obțin o matrice în forma redusă dorită.

Bibliografie

D. Bini, M.Capovani, O. Menchi. Metode numerice pentru algebra liniară. Zanichelli, Bologna 1988.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica