Metoda Frobenius

În matematică , metoda Frobenius , al cărei nume derivă din matematicianul german Ferdinand Georg Frobenius , descrie o modalitate de a găsi o soluție prin dezvoltarea seriei pentru o ecuație diferențială ordinară de gradul doi al formei:

z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0

{\ displaystyle z ^ {2} u '' + p (z) zu '+ q (z) u = 0}

z ^ {2} u '' + p (z) zu '+ q (z) u = 0

lângă punctul singular singular $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ . Puteți împărți ecuația diferențială la $z^{2}$ ${\ displaystyle z ^ {2}}$ $z ^ {2}$ și obțineți o formă echivalentă:

u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0

{\ displaystyle u '' + {p (z) \ over z} u '+ {q (z) \ over z ^ {2}} u = 0}

u '' + {p (z) \ peste z} u '+ {q (z) \ peste z ^ {2}} u = 0

Acestea din urmă nu pot fi rezolvate prin extinderea seriei de putere sau prin căutarea unor soluții precum:

u(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}

{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}

de sine $p(z)/z$ ${\ displaystyle p (z) / z}$ $p (z) / z$ sau $q(z)/z^{2}$ ${\ displaystyle q (z) / z ^ {2}}$ $q (z) / z ^ {2}$ nu este analitic în $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ . Metoda Frobenius permite crearea de soluții de serie de putere la acest tip de ecuații diferențiale în cazul în care $p(z)$ ${\ displaystyle p (z)}$ $p (z)$ Și $q(z)$ ${\ displaystyle q (z)}$ $q (z)$ ele sunt la rândul lor analitice în vecinătatea originii sau, fiind analitice în orice alt punct, chiar și în cazul în care limitele lor la zero există și sunt finite.

Formulare

Metoda lui Frobenius afirmă că o soluție poate fi căutată sub forma:

u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\qquad A_{0}\neq 0

{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} \ qquad A_ {0} \ neq 0}

u (z) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} A_ {k} z ^ {{k + r}} \ qquad A_ {0} \ neq 0

Derivând avem:

u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}

{\ displaystyle u '(z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1}}

u '(z) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-1}}

u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}

{\ displaystyle u '' (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2}}

u '' (z) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-2} }

și apoi înlocuind:

z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle z ^ {2} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2} + zp (z ) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} + q (z) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

z ^ {2} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} + zp (z) \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-1}} + q (z) \ sum _ { {k = 0}} ^ {{\ infty}} A_ {k} z ^ {{k + r}}

=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + p (z) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + q (z) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r}} + p (z) \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r}} + q (z) \ sum _ {{k = 0}} ^ { {\ infty}} A_ {k} z ^ {{k + r}}

=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + p (z) (k + r) A_ {k} z ^ {k + r} + q (z) A_ {k} z ^ {k + r}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} (k + r-1) (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r}} + p (z) (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r}} + q (z) A_ {k} z ^ {{k + r}}

=\sum _{k=0}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ((k + r-1) (k + r) + p (z) (k + r) + q (z)) A_ {k} z ^ {k + r}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} ((k + r-1) (k + r) + p (z) (k + r) + q (z)) A_ {k } z ^ {{k + r}}

=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle = (r (r-1) + p (z) r + q (z)) A_ {0} z ^ {r} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} ((k + r-1) (k + r) + p (z) (k + r) + q (z)) A_ {k} z ^ {k + r}}

= (r (r-1) + p (z) r + q (z)) A_ {0} z ^ {r} + \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} ((k + r-1) (k + r) + p (z) (k + r) + q (z)) A_ {k} z ^ {{k + r}}

Expresia:

r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I\left(r\right)

{\ displaystyle r \ left (r-1 \ right) + p \ left (0 \ right) r + q \ left (0 \ right) = I \ left (r \ right)}

r \ left (r-1 \ right) + p \ left (0 \ right) r + q \ left (0 \ right) = I \ left (r \ right)

este cunoscut sub numele de polinom indicial sau polinom caracteristic , care este pătratic în $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și definit ca fiind coeficientul celei mai mici puteri a $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în seria infinită. În acest caz este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ -al coeficient, dar se poate întâmpla ca cel mai mic exponent să fie $r-2$ ${\ displaystyle r-2}$ $r-2$ , $r-1$ ${\ displaystyle r-1}$ $r-1$ sau altceva dependent de ecuația diferențială dată. Acest detaliu este semnificativ deoarece în procesul de sincronizare a indicilor tuturor seriilor ecuației diferențiale, este necesar ca toate acestea să înceapă cu aceeași valoare a indexului (în expresia anterioară este $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ ), puteți ajunge la final cu o expresie complicată. În orice caz, în căutarea soluțiilor ecuației indicial (ecuația caracteristică) atenția se concentrează doar pe coeficientul puterii mai mic de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Pentru cele spuse, expresia generală a coeficientului de $z^{k+r}$ ${\ displaystyle z ^ {k + r}}$ $z ^ {{k + r}}$ Și:

I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}

{\ displaystyle I (k + r) A_ {k} + \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} ((j + r) p (kj) + q (kj)) A_ {j}}

I (k + r) A_ {k} + \ sum _ {{j = 0}} ^ {{k-1}} ((j + r) p (k-j) + q (k-j)) A_ {j}

Acești coeficienți, pentru a fi soluția ecuației diferențiale, trebuie să fie zero:

I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=0

{\ displaystyle I (k + r) A_ {k} + \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} ((j + r) p (kj) + q (kj)) A_ {j} = 0 }

I (k + r) A_ {k} + \ sum _ {{j = 0}} ^ {{k-1}} ((j + r) p (kj) + q (kj)) A_ {j} = 0

din care avem:

\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=-I(k+r)A_{k}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} ((j + r) p (kj) + q (kj)) A_ {j} = - I (k + r) A_ {k}}

\ sum _ {{j = 0}} ^ {{k-1}} ((j + r) p (k-j) + q (k-j)) A_ {j} = - I (k + r) A_ {k}

prin urmare:

{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=A_{k}

{\ displaystyle {1 \ over -I (k + r)} \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} ((j + r) p (kj) + q (kj)) A_ {j} = A_ {k}}

{1 \ peste -I (k + r)} \ sum _ {{j = 0}} ^ {{k-1}} ((j + r) p (kj) + q (kj)) A_ {j} = A_ {k}

Soluția se formează în serie cu $A_{k}$ ${\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ :

U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle U_ {r} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

U _ {{r}} (z) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} A_ {k} z ^ {{k + r}}

satisface:

z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}

{\ displaystyle z ^ {2} U_ {r} (z) '' + p (z) zU_ {r} (z) '+ q (z) U_ {r} (z) = I (r) z ^ { r}}

z ^ {2} U _ {{r}} (z) '' + p (z) zU _ {{r}} (z) '+ q (z) U _ {{r}} (z) = I (r) z ^ {{r}}

Dacă alegeți una dintre rădăcinile ecuației indițiale pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în $U_{r}(z)$ ${\ displaystyle U_ {r} (z)}$ $U_ {r} (z)$ se obține soluția ecuației diferențiale. Dacă diferența dintre rădăcini nu este un număr întreg, cu cealaltă rădăcină obținem o altă soluție liniar independentă de prima.

Exemplu

Luați în considerare ecuația:

z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0

{\ displaystyle z ^ {2} f '' - zf '+ (1-z) f = 0}

z ^ {2} f '' - zf '+ (1-z) f = 0

Dividend de $z^{2}$ ${\ displaystyle z ^ {2}}$ $z ^ {2}$ primesti:

f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0

{\ displaystyle f '' - {1 \ over z} f '+ {1-z \ over z ^ {2}} f = f' '- {1 \ over z} f' + \ left ({1 \ over z ^ {2}} - {1 \ peste z} \ dreapta) f = 0}

f '' - {1 \ over z} f '+ {1-z \ over z ^ {2}} f = f' '- {1 \ over z} f' + \ left ({1 \ over z ^ { 2}} - {1 \ peste z} \ dreapta) f = 0

care are singularitatea cerută în $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ . Utilizarea soluțiilor în serie:

f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle f = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

f = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r}}

f'=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}

{\ displaystyle f '= \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1}}

f '= \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-1}}

f''=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}

{\ displaystyle f '' = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2}}

f '' = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}}

și înlocuind avem:

\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - {1 \ over z} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} + \ left ({1 \ over z ^ {2}} - {1 \ over z} \ right) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - {1 \ over z} \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-1}} + \ left ({1 \ over z ^ {2}} - { 1 \ over z} \ right) \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r}}

=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{1 \over z^{2}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - {1 \ over z} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-1} + {1 \ over z ^ {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r} - {1 \ over z} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - {1 \ over z} \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-1}} + {1 \ over z ^ {2}} \ sum _ { {k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r}} - {1 \ over z} \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r}}

=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2 } - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-1}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} + \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r-1}}

Acum trebuie să schimbăm indexul la ultima însumare:

=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2 } - \ sum _ {k-1 = 0} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r-2}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} + \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k-1 = 0}} ^ {\ infty} A _ {{k-1}} z ^ {{k + r-2}}

=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}

{\ displaystyle = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2 } - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r-2}}

= \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} + \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} A _ {{k-1}} z ^ {{k + r-2}}

și scoaterea unui element din însumare care începe cu $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ obținem că toate însumările încep cu același indice:

=((r)(r-1)A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-((r)A_{0}z^{r-2})-\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}

{\ displaystyle = ((r) (r-1) A_ {0} z ^ {r-2}) + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (k + r) (k + r-1 ) A_ {k} z ^ {k + r-2} - ((r) A_ {0} z ^ {r-2}) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {k + r-2}}

= ((r) (r-1) A_ {0} z ^ {{r-2}}) + \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} (k + r) (k + r- 1) A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - ((r) A_ {0} z ^ {{r-2}}) - \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} (k + r) A_ {k} z ^ {{k + r-2}}

+(A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}

{\ displaystyle + (A_ {0} z ^ {r-2}) + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {k + r-2} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k-1} z ^ {k + r-2}}

+ (A_ {0} z ^ {{r-2}}) + \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} A_ {k} z ^ {{k + r-2}} - \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} A _ {{k-1}} z ^ {{k + r-2}}

=(r(r-1)-r+1)A_{0}z^{r-2}+

{\ displaystyle = (r (r-1) -r + 1) A_ {0} z ^ {r-2} +}

= (r (r-1) -r + 1) A_ {0} z ^ {{r-2}} +

\sum _{k=1}^{\infty }\left(((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (((k + r) (k + r-1) - (k + r) +1) A_ {k} -A_ {k- 1} \ dreapta) z ^ {k + r-2}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} \ left (((k + r) (k + r-1) - (k + r) +1) A_ {k} -A _ {{k - 1}} \ dreapta) z ^ {{k + r-2}}

Rezolvarea ecuației caracteristice $r(r-1)-r+1=r^{2}-2r+1=0$ ${\ displaystyle r (r-1) -r + 1 = r ^ {2} -2r + 1 = 0}$ $r (r-1) -r + 1 = r ^ {2} -2r + 1 = 0$ , care are o rădăcină dublă de valoare 1, oferă prima soluție la ecuația diferențială. Folosind această rădăcină, punând coeficientul de $z^{k+r-2}$ ${\ displaystyle z ^ {k + r-2}}$ $z ^ {{k + r-2}}$ astfel încât să fie nul (să fie o soluție):

((k+1)(k)-(k+1)+1)A_{k}-A_{k-1}=(k^{2})A_{k}-A_{k-1}=0

{\ displaystyle ((k + 1) (k) - (k + 1) +1) A_ {k} -A_ {k-1} = (k ^ {2}) A_ {k} -A_ {k-1 } = 0}

((k + 1) (k) - (k + 1) +1) A_ {k} -A _ {{k-1}} = (k ^ {2}) A_ {k} -A _ {{k -1}} = 0

ajungem la relația de recurență :

A_{k}={A_{k-1} \over k^{2}}

{\ displaystyle A_ {k} = {A_ {k-1} \ peste k ^ {2}}}

A_ {k} = {A _ {{k-1}} \ peste k ^ {2}}

Având în vedere condițiile inițiale, putem rezolva complet relația de recurență și putem obține soluția ca o expansiune în serie. Deoarece raportul coeficienților $A_{k}/A_{k-1}$ ${\ displaystyle A_ {k} / A_ {k-1}}$ $A_ {k} / A _ {{k-1}}$ este o funcție rațională , seria de putere poate fi exprimată ca un caz particular al seriei hipergeometrice generalizate .

Rădăcini separate de Z

Exemplul de mai sus implică un polinom caracteristic cu o rădăcină repetată, care apoi oferă doar o soluție la ecuația diferențială dată. În general, metoda Frobenius oferă două soluții liniar independente dacă rădăcinile sunt distincte și diferența lor nu este un număr întreg (adică dacă rădăcinile NU sunt separate de Z). Dacă rădăcinile sunt repetate sau diferă de un număr întreg, a doua soluție poate fi găsită din ecuație:

y_{2}=y_{1}\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k+r}

{\ displaystyle y_ {2} = y_ {1} \ ln x + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + r}}

y_ {2} = y_ {1} \ ln x + \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {{k + r}}

Unde este $y_{1}(x)$ ${\ displaystyle y_ {1} (x)}$ $y_ {1} (x)$ este prima soluție și coeficienții $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ trebuie determinat.

Bibliografie

( EN ) Arfken, G. "Soluții de serie - Metoda Frobenius". §8.5 în Metode matematice pentru fizicieni, ed . A III-a . Orlando, FL: Academic Press, pp. 454-467, 1985.
( EN ) Frobenius. "Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen." J. reine angew. Matematica. 76 , 214-235, 1873.
( EN ) Ince, EL Cap. 5 în ecuații diferențiale ordinare . New York: Dover, 1956.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Metoda Frobenius în MathWorld Wolfram Research.
John H. Mathews, Modul pentru soluția prin metoda Frobenius
WT Ang și YS Park, ecuații diferențiale ordinare: metode și aplicații un curs concis de ecuații diferențiale ordinare (metoda Frobenius este discutată în capitolul 5) (capitolele 1 și 5 sunt disponibile pentru descărcare în PDF) (publicat în 2008)
Gerald Teschl, Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice capitolul 4 conține descrierea cu demonstrația metodei.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică