Morfologia matematică

O figură (în albastru), cu expansiunea sa (în verde) și eroziunea sa (în galben).

Morfologia matematică ( MM pe scurt) este o teorie și o tehnică pentru analiza formelor geometrice. Se aplică de obicei în procesarea imaginilor digitale ( grafică pe computer ), dar și în grafice și geometrie solidă .

Istorie

Morfologia matematică s-a născut în 1964 din munca de colaborare a lui Georges Matheron și Jean Serra , la École des mines din Paris , Franța . În 1968 , centrul de morfologie matematică regizat de aceștia a fost fondat la Fontainebleau ( Franța ) de École des mines .

Primii ani au lucrat la imagini binare tratate ca seturi și generate de un număr mare de operatori și tehnici binare: transformare hit-or-miss , dilatare, eroziune, deschidere , închidere , granulometrie , subțierea , scheletizarea , bisectoare condiționate și altele.

Operatori de bază

Operatorii de bază sunt invarianți la traducere și sunt: eroziune, expansiune, deschidere și închidere. În continuare E indică un spațiu euclidian sau o rețea discretă.

Eroziune

Eroziunea unei imagini binare A realizată de elementul B este definită de:

A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\}

{\ displaystyle A \ ominus B = \ {z \ în E | B_ {z} \ subseteq A \}}

{\ displaystyle A \ ominus B = \ {z \ în E | B_ {z} \ subseteq A \}}

,

unde B _z este traducerea lui B datorită vectorului z, de exemplu, $B_{z}=\{b+z|b\in B\}$ ${\ displaystyle B_ {z} = \ {b + z | b \ în B \}}$ ${\ displaystyle B_ {z} = \ {b + z | b \ în B \}}$ , $\forall z\in E$ ${\ displaystyle \ forall z \ in E}$ ${\ displaystyle \ forall z \ in E}$ .

Expansiune

Dilatarea unei imagini binare A efectuată de elementul B este definită de:

A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}

{\ displaystyle A \ oplus B = \ bigcup _ {b \ in B} A_ {b}}

{\ displaystyle A \ oplus B = \ bigcup _ {b \ in B} A_ {b}}

.

Dilatarea este comutativă, adică: $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}$ ${\ displaystyle A \ oplus B = B \ oplus A = \ bigcup _ {a \ in A} B_ {a}}$ ${\ displaystyle A \ oplus B = B \ oplus A = \ bigcup _ {a \ in A} B_ {a}}$ .

Dilatarea poate fi realizată și cu: $A\oplus B=\{z\in E|(B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}$ ${\ displaystyle A \ oplus B = \ {z \ in E | (B ^ {s}) _ {z} \ cap A \ neq \ varnothing \}}$ ${\ displaystyle A \ oplus B = \ {z \ in E | (B ^ {s}) _ {z} \ cap A \ neq \ varnothing \}}$ , unde B ^s este rotația simetrică a lui B , adică $B^{s}=\{x\in E|-x\in B\}$ ${\ displaystyle B ^ {s} = \ {x \ în E | -x \ în B \}}$ ${\ displaystyle B ^ {s} = \ {x \ în E | -x \ în B \}}$ .