Mișcarea corpurilor cu masă variabilă

Dinamica corpurilor cu masă variabilă este un caz special al dinamicii sistemului. În acest caz, este vorba de studierea mișcării unui corp a cărui masă variază din cauza pierderii sau a dobândirii unei noi mase. Cel mai important exemplu este avionul cu reacție (avioane, rachete, rachete, nave spațiale).

Ecuația Mescersky

Pentru a obține ecuația mișcării unui punct material cu masă variabilă, considerăm mișcarea unei rachete. Principiul de funcționare al unui motor cu reacție este simplu: racheta expulzează o substanță, aproape întotdeauna gaz, care este impresionată cu o viteză mare. Racheta exercită o mare forță asupra gazului, care la rândul său exercită o forță egală asupra rachetei în mărime, dar opusă în direcție ( al treilea principiu al lui Newton ). Dacă forțele externe sunt neglijabile, rachetele și gazele de eșapament constituie un sistem izolat al cărui impuls este constant în timp. Cu toate acestea, este util să luăm în considerare cazul general în care acționează forțe externe precum gravitația și fricțiunea vâscoasă . Fie m (t) și v (t) masa și viteza rachetei în momentul t; impulsul este egal cu m v . După intervalul de timp dt, masa și viteza vor avea creșteri egale cu dm (negativ) și v . Apoi, impulsul rachetei devine

(m+dm)(\mathbf {v} +d\mathbf {v} )

{\ displaystyle (m + dm) (\ mathbf {v} + d \ mathbf {v})}

(m + dm) ({\ mathbf {v}} + d {\ mathbf {v}})

.

Trebuie luată în considerare și impulsul gazelor de eșapament produse în timpul dt. Este egal cu

dm_{gas}\mathbf {v} _{gas}

{\ displaystyle dm_ {gas} \ mathbf {v} _ {gas}}

dm _ {{gas}} {\ mathbf {v}} _ {{gas}}

unde apar masa gazului produs în dt și viteza acestuia. Prin adăugarea celor două expresii, găsim impulsul total al sistemului; apoi scăzând impulsul la momentul t, adică m v , obținem creșterea impulsului în timpul dt. Prin teorema impulsului această creștere este egală cu F dt, unde F este suma geometrică a forțelor aplicate rachetei. Categoric,

\mathbf {F} dt=

{\ displaystyle \ mathbf {F} dt =}

{\ mathbf {F}} dt =

(m+dm)(\mathbf {v} +d\mathbf {v} )+

{\ displaystyle (m + dm) (\ mathbf {v} + d \ mathbf {v}) +}

(m + dm) ({\ mathbf {v}} + d {\ mathbf {v}}) +

dm_{gas}\;\mathbf {v} _{gas}-

{\ displaystyle dm_ {gas} \; \ mathbf {v} _ {gas} -}

dm _ {{gas}} \; {\ mathbf {v}} _ {{gas}} -

m\mathbf {v} =

{\ displaystyle m \ mathbf {v} =}

m {\ mathbf {v}} =

m\mathbf {v}

{\ displaystyle m \ mathbf {v}}

m {\ mathbf {v}}

+md\mathbf {v} +\mathbf {v} dm+

{\ displaystyle + md \ mathbf {v} + \ mathbf {v} dm +}

+ md {\ mathbf {v}} + {\ mathbf {v}} dm +

dm_{gas}\;\mathbf {v} _{gas}-

{\ displaystyle dm_ {gas} \; \ mathbf {v} _ {gas} -}

dm _ {{gas}} \; {\ mathbf {v}} _ {{gas}} -

m\mathbf {v}

{\ displaystyle m \ mathbf {v}}

m {\ mathbf {v}}

neglijând produsul $dm\cdot d\mathbf {v}$ ${\ displaystyle dm \ cdot d \ mathbf {v}}$ $dm \ cdot d {\ mathbf {v}}$ deoarece infinitesimal de ordin superior. Atunci ai

\mathbf {F} dt=md\mathbf {v} +\mathbf {v} dm+dm_{gas}\mathbf {v} _{gas}

{\ displaystyle \ mathbf {F} dt = md \ mathbf {v} + \ mathbf {v} dm + dm_ {gas} \ mathbf {v} _ {gas}}

{\ mathbf {F}} dt = md {\ mathbf {v}} + {\ mathbf {v}} dm + dm _ {{gas}} {\ mathbf {v}} _ {{gas}}

cu dm + d $m_{gas}$ ${\ displaystyle m_ {gas}}$ $m _ {{gaz}}$ = 0 (masa totală trebuie conservată); de asemenea, putem introduce viteza relativă a gazului în raport cu racheta, $\mathbf {v} _{rel}=\mathbf {v} _{gas}-\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {rel} = \ mathbf {v} _ {gas} - \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf {v}} _ {{rel}} = {\ mathbf {v}} _ {{gas}} - {\ mathbf {v}}$ ( viteza jetului de gaz ). Luând aceste observații împotriva acesteia se obține

\mathbf {F} dt=md\mathbf {v} +dm(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{gas})=md\mathbf {v} -\mathbf {v} _{rel}dm\Rightarrow \mathbf {F} dt+\mathbf {v} _{rel}dm=md\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {F} dt = md \ mathbf {v} + dm (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {gas}) = md \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ { rel} dm \ Rightarrow \ mathbf {F} dt + \ mathbf {v} _ {rel} dm = md \ mathbf {v}}

{\ mathbf {F}} dt = md {\ mathbf {v}} + dm ({\ mathbf {v}} - {\ mathbf {v}} _ {{gas}}) = md {\ mathbf {v} } - {\ mathbf {v}} _ {{rel}} dm \ Rightarrow {\ mathbf {F}} dt + {\ mathbf {v}} _ {{rel}} dm = md {\ mathbf {v}}

.

Fie dt, dm și v să tindă la zero pentru a calcula derivatele ${\frac {dm}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dm} {dt}}}$ ${\ frac {dm} {dt}}$ Și ${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}}}$ ${\ frac {d {\ mathbf {v}}} {dt}}$ .

Împărțind expresia anterioară cu dt, găsim ecuația Mescersky sau ecuația de mișcare a unui punct de masă variabilă:

\mathbf {F} +\mathbf {v} _{rel}{\frac {dm}{dt}}=m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} + \ mathbf {v} _ {rel} {\ frac {dm} {dt}} = m {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}}}

{\ mathbf {F}} + {\ mathbf {v}} _ {{rel}} {\ frac {dm} {dt}} = m {\ frac {d {\ mathbf {v}}} {dt}}

.

Al doilea addendum al primului termen poate fi interpretat ca forța de reacție a rachetei asupra gazelor de eșapament.

Ecuația lui Tsiolkovsky în mecanica clasică

Același subiect în detaliu: ecuația rachetei Tsiolkovsky .

Dacă forțele externe sunt neglijabile, începeți cu ecuația

{\vec {v}}_{rel}dm=md\mathbf {v}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {rel} dm = md \ mathbf {v}}

{\ vec {v}} _ {{rel}} dm = md {\ mathbf {v}}

ajungem la ecuația lui Tsiolkovsky pentru mișcare nerelativistă: dacă masa inițială a rachetei este $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m _ {{0}}$ iar viteza sa inițială este zero, relația merită

{\frac {m_{0}}{m}}=e^{v/v_{rel}}

{\ displaystyle {\ frac {m_ {0}} {m}} = e ^ {v / v_ {rel}}}

{\ frac {m _ {{0}}} {m}} = e ^ {{v / v _ {{rel}}}}

.

Raportul ${\frac {m_{0}}{m}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m_ {0}} {m}}}$ ${\ frac {m _ {{0}}} {m}}$ poate fi interpretat aproximativ ca raportul dintre rezerva de combustibil necesară pentru a face o călătorie și masa vehiculului, presupunând că gazul este terminat la sfârșitul călătoriei și că masa combustibilului este mult mai mare decât cea a vehicul.

Ecuația lui Tsiolkovsky în mecanica relativistă

Formula anterioară este valabilă în cazul vitezei mici comparativ cu cea a luminii, dar este posibil să o generalizați în cazul mișcării relativiste (masa crește pe măsură ce viteza crește): rezultă

{\frac {m_{0}}{m}}=\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{\frac {c}{2v_{rel}}}

{\ displaystyle {\ frac {m_ {0}} {m}} = \ left ({\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}} \ right) ^ {\ frac {c} {2v_ {rel }}}}

{\ frac {m _ {{0}}} {m}} = \ left ({\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}} \ right) ^ {{{\ frac {c} {2v_ {{rel}}}}}}

unde este $\beta ={\frac {v}{c}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}$ $\ beta = {\ frac {v} {c}}$ .

Zboruri interplanetare

Rachetele propulsate de combustibili chimici au limitări; să încercăm să calculăm ce masă ar trebui să aibă o navă spațială de acest tip pentru a efectua zboruri interplanetare. Viteza minimă pe care trebuie să o aibă pentru a părăsi zona de acțiune a câmpului gravitațional al Pământului - a doua viteză cosmică - este de aproximativ 11,2 km / s. De exemplu, este viteza minimă pentru a ajunge pe Lună. Viteza necesară pentru a părăsi sistemul solar se numește a treia viteză cosmică , iar valoarea sa minimă corespunde direcției tangentei de lansare pe orbita terestră: aceasta este egală cu aproximativ 16,7 km / s. Aceasta este viteza necesară pentru zborurile interplanetare. La motoarele cu reacție moderne, viteza jetului de gaz de câțiva km / s poate fi atinsă; atât de exemplu $v_{rel}=$ ${\ displaystyle v_ {rel} =}$ $v _ {{rel}} =$ 4 km / s (caz non-relativist). Pentru a atinge a doua viteză cosmică relația $m_{0}/m$ ${\ displaystyle m_ {0} / m}$ $m _ {{0}} / m$ trebuie să fie egală cu

e^{11.2/4}\approx 17

{\ displaystyle e ^ {11.2 / 4} \ approx 17}

și ^ {{11.2 / 4}} \ aproximativ 17

,

iar pentru al treilea

e^{16.7/4}\approx 64

{\ displaystyle e ^ {16.7 / 4} \ approx 64}

și ^ {{16.7 / 4}} \ aproximativ 64

.

Cu toate acestea, este evident că nava spațială trebuie să aibă combustibilul necesar pentru călătoriile de ieșire și de întoarcere; dacă planeta de atins are dimensiuni și masă similare cu cele ale Pământului, rezerva de combustibil nu trebuie să fie de aproximativ 60, ci de 60 x 60 = 3600 de ori mai mare decât masa navei. Un astfel de zbor este posibil, chiar dacă este dificil.

Zboruri interstelare

Pentru zborurile interstelare, combustibilii chimici sunt inutilizabili. În primul rând, se arată în fizica moleculară că viteza unui jet de gaz este proporțională cu ${\sqrt {\frac {T}{p}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {T} {p}}}}$ ${\ sqrt {{\ frac {T} {p}}}}$ unde T este temperatura și p este greutatea moleculară .

Deci, să presupunem că folosim hidrogen atomic, cea mai ușoară substanță (p = 1); pentru a atinge o viteză a jetului de 10 km / s, temperatura acestuia ar trebui să ajungă la 5000 ° C. Prin urmare, o astfel de viteză nu este realizabilă cu utilizarea exclusivă a combustibililor chimici. Dar chiar dacă ar fi posibil, trebuie considerat că cea mai apropiată stea este la 4 ani lumină distanță. Dacă nu vrem să luăm secole pentru a ajunge la el, este clar că va trebui să călătorim cu o viteză nu prea mică decât viteza luminii: formula care trebuie utilizată în acest caz este ecuația relativistă Tsiolkovsky. Să luăm de exemplu $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ = 0,1 și $v_{rel}$ ${\ displaystyle v_ {rel}}$ $v _ {{rel}}$ = 10 km / s. Apoi raportul $m_{0}/m$ ${\ displaystyle m_ {0} / m}$ $m _ {{0}} / m$ trebuie să fie (amintiți-vă că c este aproximativ egal cu 300 000 km / s)

\left({\frac {1.1}{0.9}}\right)^{300000/20}=(1.{\bar {2}})^{15000}\approx 1.79\cdot 10^{1307}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1.1} {0.9}} \ right) ^ {300000/20} = (1. {\ bar {2}}) ^ {15000} \ approx 1.79 \ cdot 10 ^ {1307 }}

\ left ({\ frac {1.1} {0.9}} \ right) ^ {{300000/20}} = (1. {\ bar {2}}) ^ {{15000}} \ approx 1.79 \ cdot 10 ^ { {1307}}

care este o valoare nemăsurată: dacă nava ar avea o masă proprie de 20 de tone, masa inițială totală ar trebui să fie de 3,58 x $10^{1308}$ ${\ displaystyle 10 ^ {1308}}$ $10 ^ {{1308}}$ tone, adică aprox $10^{1270}$ ${\ displaystyle 10 ^ {1270}}$ $10 ^ {{1270}}$ de ori masa Galaxy-ului nostru.

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică