A treia viteză cosmică

A treia viteză cosmică , sau viteza excesivă hiperbolică , este viteza pe care un corp trebuie să o aibă, în raport cu orice corp în jurul căruia orbitează, pentru ca acesta să-și abandoneze câmpul gravitațional și să-și asume o orbită hiperbolică.

În astronautică , este viteza pe care o navă spațială trebuie să o aibă pentru a părăsi sistemul solar .

Calculul

Pentru un calcul exact al celei de-a treia viteze cosmice ar trebui să se ia în considerare interacțiunea Soarelui, a Pământului și a corpului care urmează să fie lansat (de exemplu, o navă spațială); cu toate acestea, este posibil să simplificați calculul neglijând influența câmpului gravitațional al Soarelui în tot timpul necesar navei pentru a părăsi zona de atracție a Pământului, deoarece câmpul gravitațional al Soarelui este aproximativ omogen în zona de atracție a Pământului (deci comunică practic aceeași accelerație atât pentru Pământ, cât și pentru nave spațiale).

Să ne plasăm în cadrul de referință al Pământului.

Indicăm cu $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ viteza inițială a navei față de Pământ, cu $v_{c}$ ${\ displaystyle v_ {c}}$ $v _ {{c}}$ prima viteză cosmică și cu $v_{p}$ ${\ displaystyle v_ {p}}$ $v _ {{p}}$ a doua viteză cosmică . Energia totală a navei este suma energiei cinetice și a energiei potențiale gravitaționale , prin urmare:

E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}={\frac {1}{2}}m\left(v^{2}-2G{\frac {M}{r}}\right)

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} -G {\ frac {Mm} {r}} = {\ frac {1} {2}} m \ left (v ^ { 2} -2G {\ frac {M} {r}} \ right)}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} -G {\ frac {Mm} {r}} = {\ frac {1} {2}} m \ left (v ^ { 2} -2G {\ frac {M} {r}} \ right)}

unde M este masa Pământului, m cea a navei și r distanța dintre centrele lor de masă . În primul rând, nava trebuie să părăsească zona de atracție terestră: aceasta are loc atunci când $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ = Raza dealului . Este posibil să se demonstreze că la această distanță de Pământ energia potențială își asumă o valoare neglijabilă în comparație cu cea a energiei mecanice . Este $v_{H}$ ${\ displaystyle v_ {H}}$ ${\ displaystyle v_ {H}}$ viteza navei în raport cu Pământul atunci când acesta părăsește zona de atracție a acestuia din urmă. Atunci:

{\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}={\frac {1}{2}}mv_{H}^{2}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} -G {\ frac {Mm} {r}} = {\ frac {1} {2}} mv_ {H} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} -G {\ frac {Mm} {r}} = {\ frac {1} {2}} mv_ {H} ^ {2}}

, prin urmare

v_{H}^{2}=v^{2}-2G{\frac {M}{r}}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} = v ^ {2} -2G {\ frac {M} {r}}}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} = v ^ {2} -2G {\ frac {M} {r}}}

.

Pe de altă parte, știm asta $v_{p}^{2}=2G{\frac {M}{r}}$ ${\ displaystyle v_ {p} ^ {2} = 2G {\ frac {M} {r}}}$ ${\ displaystyle v_ {p} ^ {2} = 2G {\ frac {M} {r}}}$ Și $v_{c}^{2}=G{\frac {M}{r}}$ ${\ displaystyle v_ {c} ^ {2} = G {\ frac {M} {r}}}$ ${\ displaystyle v_ {c} ^ {2} = G {\ frac {M} {r}}}$ , asa de:

v_{H}^{2}=v^{2}-2v_{c}^{2}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} = v ^ {2} -2v_ {c} ^ {2}}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} = v ^ {2} -2v_ {c} ^ {2}}

sau, de asemenea

v_{H}^{2}=v^{2}-v_{p}^{2}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} = v ^ {2} -v_ {p} ^ {2}}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} = v ^ {2} -v_ {p} ^ {2}}

Să trecem acum în cadrul de referință al Soarelui.

Noi sunam ${\vec {V}}_{tot}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot}}$ viteza navei în raport cu Soarele în timp ce părăsește zona de atracție a Pământului. Este clar că:

{\vec {V}}_{tot}={\vec {v}}_{H}+{\vec {V}}_{Terra}

{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot} = {\ vec {v}} _ {H} + {\ vec {V}} _ {Earth}}

{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot} = {\ vec {v}} _ {H} + {\ vec {V}} _ {Earth}}

unde apare viteza orbitală a Pământului, aceasta este viteza Pământului față de Soare. Deoarece Pământul are o orbită aproximativ circulară, această viteză va fi aproximativ egală cu prima viteză cosmică ${\vec {V}}_{C}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {C}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {C}}$ cu privire la Soare. Apoi:

{\vec {V}}_{tot}={\vec {v}}_{H}+{\vec {V}}_{C}

{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot} = {\ vec {v}} _ {H} + {\ vec {V}} _ {C}}

{\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot} = {\ vec {v}} _ {H} + {\ vec {V}} _ {C}}

și pentru o proprietate cunoscută a sumei vectoriale :

V_{tot}^{2}=v_{H}^{2}+V_{C}^{2}-2v_{H}V_{C}\cos {\theta }

{\ displaystyle V_ {tot} ^ {2} = v_ {H} ^ {2} + V_ {C} ^ {2} -2v_ {H} V_ {C} \ cos {\ theta}}

{\ displaystyle V_ {tot} ^ {2} = v_ {H} ^ {2} + V_ {C} ^ {2} -2v_ {H} V_ {C} \ cos {\ theta}}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul format de vectori ${\vec {v}}_{H}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {H}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {H}}$ Și ${\vec {V}}_{C}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {C}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {C}}$ , reprezentând ${\vec {V}}_{C}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {C}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {C}}$ (direcția și direcția mișcării Pământului față de Soare) cu coada la vârful ${\vec {v}}_{H}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {H}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {H}}$ (direcția și direcția mișcării navei față de Pământ).

Dacă vrem ca nava să părăsească sistemul solar, avem nevoie de viteza sa ${\vec {V}}_{tot}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {tot}}$ (față de Soare) este cel puțin egal cu a doua viteză cosmică ( viteza de evacuare ) față de Soare, pe care o numim ${\vec {V}}_{p}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {p}}$ ${\ vec {V}} _ {{p}}$ . Se știe că, în general, prima și a doua viteză cosmică sunt legate de relația:

V_{p}=V_{c}{\sqrt {2}}

{\ displaystyle V_ {p} = V_ {c} {\ sqrt {2}}}

V _ {{p}} = V _ {{c}} {\ sqrt {2}}

.

Înlocuind, obținem următoarea ecuație în necunoscut $v_{H}$ ${\ displaystyle v_ {H}}$ ${\ displaystyle v_ {H}}$ :

v_{H}^{2}-2v_{H}V_{c}\cos {\theta }-V_{c}^{2}=0

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} -2v_ {H} V_ {c} \ cos {\ theta} -V_ {c} ^ {2} = 0}

{\ displaystyle v_ {H} ^ {2} -2v_ {H} V_ {c} \ cos {\ theta} -V_ {c} ^ {2} = 0}

care are o singură soluție pozitivă, egală cu:

v_{H}=V_{c}(\cos {\theta }+{\sqrt {1+\cos ^{2}{\theta }}})

{\ displaystyle v_ {H} = V_ {c} (\ cos {\ theta} + {\ sqrt {1+ \ cos ^ {2} {\ theta}}})}

{\ displaystyle v_ {H} = V_ {c} (\ cos {\ theta} + {\ sqrt {1+ \ cos ^ {2} {\ theta}}})}

Reluarea relației $v^{2}=v_{H}^{2}+2v_{c}^{2}$ ${\ displaystyle v ^ {2} = v_ {H} ^ {2} + 2v_ {c} ^ {2}}$ ${\ displaystyle v ^ {2} = v_ {H} ^ {2} + 2v_ {c} ^ {2}}$ , se găsește pentru a treia viteză cosmică:

v_{3}^{2}=V_{c}^{2}(\cos {\theta }+{\sqrt {1+\cos ^{2}{\theta }}}\,)^{2}+2v_{c}^{2}

{\ displaystyle v_ {3} ^ {2} = V_ {c} ^ {2} (\ cos {\ theta} + {\ sqrt {1+ \ cos ^ {2} {\ theta}}} \,) ^ {2} + 2v_ {c} ^ {2}}

{\ displaystyle v_ {3} ^ {2} = V_ {c} ^ {2} (\ cos {\ theta} + {\ sqrt {1+ \ cos ^ {2} {\ theta}}} \,) ^ {2} + 2v_ {c} ^ {2}}

Rezultate

Valoarea celei de-a treia viteze cosmice este minimă dacă $\theta =\pi$ ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$ $\ theta = \ pi$ (când lansarea are loc în direcția și direcția mișcării orbitale a Pământului) și maximă dacă $\theta =0$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ (când lansarea are loc în direcția mișcării orbitale a Pământului, dar în direcția opusă). Pentru aceste valori, formula anterioară oferă:

$v_{3}^{min}\approx {\sqrt {0{,}171V_{c}^{2}+2v_{c}^{2}}}\approx 16{,}7\ {\mbox{km/s}}$ ${\ displaystyle v_ {3} ^ {min} \ approx {\ sqrt {0 {,} 171V_ {c} ^ {2} + 2v_ {c} ^ {2}}} \ approx 16 {,} 7 \ {\ mbox {km / s}}}$ $v _ {{3}} ^ {{min}} \ approx {\ sqrt {0 {,} 171V _ {{c}} ^ {{2}} + 2v _ {{c}} ^ {{2}} }} \ approx 16 {,} 7 \ {\ mbox {km / s}}$
$v_{3}^{max}\approx {\sqrt {5{,}828V_{c}^{2}+2v_{c}^{2}}}\approx 72{,}7\ {\mbox{km/s}}$ ${\ displaystyle v_ {3} ^ {max} \ approx {\ sqrt {5 {,} 828V_ {c} ^ {2} + 2v_ {c} ^ {2}}} \ approx 72 {,} 7 \ {\ mbox {km / s}}}$ $v _ {{3}} ^ {{max}} \ approx {\ sqrt {5 {,} 828V _ {{c}} ^ {{2}} + 2v _ {{c}} ^ {{2}} }} \ approx 72 {,} 7 \ {\ mbox {km / s}}$

Elemente conexe

Prima viteză cosmică
Viteza de evacuare (sau a doua viteză cosmică)
Energie caracteristică

Portalul de astronomie

Portalul de fizică