Numere de clopote

În matematică , numerele Bell - notate cu $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ - sunt definite ca numărul de partiții ale unui set de n elemente, adică numărul de moduri în care acest set poate fi obținut ca o uniune disjunctă a subseturilor sale ne-goale. Erau deja bine cunoscuți și studiați încă din secolul al XIX-lea, dar astăzi sunt des numiți matematicianul Eric Temple Bell , pentru un caz al legii eponimiei lui Stigler . Bell a scris într-adevăr unele lucrări despre ele în anii 1930. ^[1]

Notatia $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ este, de asemenea, folosit pentru a indica numerele lui Bernoulli ; pentru a le distinge uneori pentru numerele Bernoulli se folosește notația $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ .

De exemplu,

B_{3}=5

{\ displaystyle B_ {3} = 5}

{\ displaystyle B_ {3} = 5}

întrucât pentru un set de trei elemente $\{a,b,c\}$ ${\ displaystyle \ {a, b, c \}}$ ${\ displaystyle \ {a, b, c \}}$ există 5 moduri diferite de a-l împărți în subseturi care nu sunt goale:

\{\{a\},\{b\},\{c\}\}

{\ displaystyle \ {\ {a \}, \ {b \}, \ {c \} \}}

{\ displaystyle \ {\ {a \}, \ {b \}, \ {c \} \}}

\{\{a,b\},\{c\}\}

{\ displaystyle \ {\ {a, b \}, \ {c \} \}}

{\ displaystyle \ {\ {a, b \}, \ {c \} \}}

\{\{a,c\},\{b\}\}

{\ displaystyle \ {\ {a, c \}, \ {b \} \}}

{\ displaystyle \ {\ {a, c \}, \ {b \} \}}

\{\{a\},\{b,c\}\}

{\ displaystyle \ {\ {a \}, \ {b, c \} \}}

{\ displaystyle \ {\ {a \}, \ {b, c \} \}}

\{\{a,b,c\}\}

{\ displaystyle \ {\ {a, b, c \} \}}

{\ displaystyle \ {\ {a, b, c \} \}}

Secvența

Primele numere ale lui Bell sunt ^[2]

B_{0}=1

{\ displaystyle B_ {0} = 1}

{\ displaystyle B_ {0} = 1}

B_{1}=1

{\ displaystyle B_ {1} = 1}

{\ displaystyle B_ {1} = 1}

B_{2}=2

{\ displaystyle B_ {2} = 2}

{\ displaystyle B_ {2} = 2}

B_{3}=5

{\ displaystyle B_ {3} = 5}

{\ displaystyle B_ {3} = 5}

B_{4}=15

{\ displaystyle B_ {4} = 15}

{\ displaystyle B_ {4} = 15}

B_{5}=52

{\ displaystyle B_ {5} = 52}

{\ displaystyle B_ {5} = 52}

B_{6}=203

{\ displaystyle B_ {6} = 203}

{\ displaystyle B_ {6} = 203}

Primele valori ale lui n pentru care $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ este un număr prim sunt 2 , 3 , 7 , 13 , 42 , 55 , 2841 , ... (Secvența A051130 din OEIS ) și numerele prime Bell generate sunt 2 , 5 , 877 , 27644437 , ... (Secvența A051131 al OEIS ) Abia în 2004 a fost arătat de I. Canestro, după 17 luni de calcul, că $B_{2841}$ ${\ displaystyle B_ {2841}}$ ${\ displaystyle B_ {2841}}$ este un număr prim.

Proprietate

Numerele clopotelor pot fi calculate folosind relația de recurență

B_{0}=1

{\ displaystyle B_ {0} = 1}

{\ displaystyle B_ {0} = 1}

B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}

{\ displaystyle B_ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B_ {k}}

{\ displaystyle B_ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B_ {k}}

Sau folosind formula lui Dobiński (1877)

B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {1} {e}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {n}} {k!}}}

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {1} {e}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {n}} {k!}}}

O altă metodă utilizată pentru a calcula numerele Bell este prin triunghiul lui Bell:

 1
 1 2
 2 3 5
 5 7 10 15
 15 20 27 37 52
 52 67 87 114 151 203
 203 255 322 409 523 674 877

Funcția generatoare exponențială a numerelor Bell este

e^{e^{x}-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}\,

{\ displaystyle e ^ {e ^ {x} -1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {n}} {n!}} x ^ {n} \,}

{\ displaystyle e ^ {e ^ {x} -1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {n}} {n!}} x ^ {n} \,}

Congruența lui Touchard afirmă că dacă p este prim

B_{p+k}\equiv B_{k}+B_{k+1}{\pmod {p}}

{\ displaystyle B_ {p + k} \ equiv B_ {k} + B_ {k + 1} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle B_ {p + k} \ equiv B_ {k} + B_ {k + 1} {\ pmod {p}}}

Notă

^ Mathworld
^ (EN) secvența A000110 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Bibliografie

( EN ) Martin Gardner , The Tinkly Temple Bells , în Fractal Music, Hypercards and More ...: Mathematical Recreations from Scientific American , 1992, pp. 24-38 , ISBN 0-7167-2189-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Bell Number în MathWorld Wolfram Research.

[1] Mathworld

[2] (EN) secvența A000110 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

[2]