Operator de inversare a timpului

Operatorul de inversare a timpului este un operator utilizat în mecanica cuantică ; schimbă starea la care se aplică rezultând o nouă stare „inversată în timp”.

Introducere

Acțiunea operatorului de inversare a timpului asupra unui sistem fizic este descrisă mai corect ca inversare a mișcării , mai degrabă decât ca inversare a timpului . Luați în considerare mișcarea unei particule supuse unui anumit potențial; imaginându-ne, într-un anumit moment de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ pentru a bloca particula și a înlocui impulsul acesteia $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ cu $\mathbf {-p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {-p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {-p}}$ , particula merge înapoi urmând (în direcția opusă) aceeași traiectorie. Cu alte cuvinte, dacă curba $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ $\ mathbf {x} (t)$ este o soluție a ecuației mișcării (non-disipativă):

$m{\ddot {\mathbf {x} }}=-\nabla V(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = - \ nabla V (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = - \ nabla V (\ mathbf {x})}$

apoi și $\mathbf {x} (-t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (-t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (-t)}$ satisface ecuația mișcării. $\mathbf {x} (-t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (-t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (-t)}$ reprezintă soluția inversată temporal.

Operatorul de inversare a timpului

Având în vedere un stat $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ , starea inversată temporar se obține prin aplicarea ad $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ operatorul de inversare a timpului, indicat cu $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ :

$|\alpha \rangle \rightarrow \Theta |\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ rightarrow \ Theta | \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ rightarrow \ Theta | \ alpha \ rangle}$

Proprietate

O proprietate fundamentală a operatorului de inversare a timpului este antiunitatea.

Un operator anti-unitate aplicat unui stat efectuează o transformare

$|{\tilde {\alpha }}\rangle =\theta |\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | {\ tilde {\ alpha}} \ rangle = \ theta | \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle | {\ tilde {\ alpha}} \ rangle = \ theta | \ alpha \ rangle}$

$|{\tilde {\beta }}\rangle =\theta |\beta \rangle$ ${\ displaystyle | {\ tilde {\ beta}} \ rangle = \ theta | \ beta \ rangle}$ ${\ displaystyle | {\ tilde {\ beta}} \ rangle = \ theta | \ beta \ rangle}$

care satisface următoarele două proprietăți

$\langle {\tilde {\beta }}|{\tilde {\alpha }}\rangle =\langle \beta |\alpha \rangle ^{*}$ ${\ displaystyle \ langle {\ tilde {\ beta}} | {\ tilde {\ alpha}} \ rangle = \ langle \ beta | \ alpha \ rangle ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ langle {\ tilde {\ beta}} | {\ tilde {\ alpha}} \ rangle = \ langle \ beta | \ alpha \ rangle ^ {*}}$

$\theta \left[a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \right]=a^{*}\theta |\alpha \rangle +b^{*}\theta |\beta \rangle$ ${\ displaystyle \ theta \ left [a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ right] = a ^ {*} \ theta | \ alpha \ rangle + b ^ {*} \ theta | \ beta \ rangle }$ ${\ displaystyle \ theta \ left [a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ right] = a ^ {*} \ theta | \ alpha \ rangle + b ^ {*} \ theta | \ beta \ rangle }$

(a doua relație definește un operator antiliniar )

Un operator generic anti-unitate poate fi scris ca produs de doi operatori

$\theta =U\cdot K$ ${\ displaystyle \ theta = U \ cdot K}$ ${\ displaystyle \ theta = U \ cdot K}$

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un operator unitar și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ conjugați numărul la care este multiplicat.

Acțiunea operatorului $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe o stare nu modifică kets-ul de bază. Într-adevăr, un stat $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ , scris ca o combinație liniară de stări proprii $|\phi '\rangle$ ${\ displaystyle | \ phi '\ rangle}$ ${\ displaystyle | \ phi '\ rangle}$

$|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}|\phi '\rangle \langle \phi '|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {\ phi '} | \ phi' \ rangle \ langle \ phi '| \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {\ phi '} | \ phi' \ rangle \ langle \ phi '| \ alpha \ rangle}$

se transformă, sub acțiunea lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ în felul următor:

$K|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}K|\phi '\rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}|\phi '\rangle$ ${\ displaystyle K | \ alpha \ rangle = \ sum _ {\ phi '} \ langle \ phi' | \ alpha \ rangle ^ {*} K | \ phi '\ rangle = \ sum _ {\ phi'} \ langle \ phi '| \ alpha \ rangle ^ {*} | \ phi' \ rangle}$ ${\ displaystyle K | \ alpha \ rangle = \ sum _ {\ phi '} \ langle \ phi' | \ alpha \ rangle ^ {*} K | \ phi '\ rangle = \ sum _ {\ phi'} \ langle \ phi '| \ alpha \ rangle ^ {*} | \ phi' \ rangle}$ .

Sisteme simetrice sub inversiune de timp

Indicând cu $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ un stat la acea vreme $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , statul $|\psi ,t\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi, t \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi, t \ rangle}$ corespunzând unui moment imediat următor $t=\delta t$ ${\ displaystyle t = \ delta t}$ ${\ displaystyle t = \ delta t}$ se obține prin aplicarea operatorului de evoluție a timpului (în formă infinitesimală):

$|\psi ,t\rangle =\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi, t \ rangle = \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash}} \ delta t \ right) | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi, t \ rangle = \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash}} \ delta t \ right) | \ psi \ rangle}$ .

Făcând starea inversată anterior să evolueze în același mod, obținem:

$\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash}} \ delta t \ right) \ Theta | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash}} \ delta t \ right) \ Theta | \ psi \ rangle}$ .

Pentru sistemele simetrice sub inversiune de timp, această stare trebuie să coincidă cu cea obținută prin prima „evoluție înapoi” $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ și apoi aplicarea operatorului de inversare a timpului:

$\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle =\Theta \left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\left(-\delta t\right)\right)|\psi \rangle$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash}} \ delta t \ right) \ Theta | \ psi \ rangle = \ Theta \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash} } \ left (- \ delta t \ right) \ right) | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash}} \ delta t \ right) \ Theta | \ psi \ rangle = \ Theta \ left (1 - {\ frac {iH} {\ hslash} } \ left (- \ delta t \ right) \ right) | \ psi \ rangle}$ ,

din care obținem:

$-iH\Theta |\psi \rangle =\Theta iH|\psi \rangle$ ${\ displaystyle -iH \ Theta | \ psi \ rangle = \ Theta iH | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle -iH \ Theta | \ psi \ rangle = \ Theta iH | \ psi \ rangle}$ .

Deoarece raționamentul este valabil pentru fiecare ket $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ , poti sa scrii

$-iH\Theta =\Theta iH$ ${\ displaystyle -iH \ Theta = \ Theta iH}$ ${\ displaystyle -iH \ Theta = \ Theta iH}$ .

Antiunitatea $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ duce la următoarea relație:

$\Theta H=H\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta H = H \ Theta}$ ${\ displaystyle \ Theta H = H \ Theta}$ .

Cu alte cuvinte, hamiltonienul unui sistem simetric sub inversiune de timp comută cu operatorul $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ :

$[H,\Theta ]=0$ ${\ displaystyle [H, \ Theta] = 0}$ ${\ displaystyle [H, \ Theta] = 0}$

Bibliografie

Jun John Sakurai , 4.4 , în Mecanica cuantică modernă , Zanichelli, februarie 1990, pp. 262-277, ISBN 88-08-12706-0 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica