Paradoxul celor doi copii
O faimoasă întrebare a teoriei probabilității se numește paradoxul celor doi copii , aparent simplă, dar în realitate ambiguă și al cărei studiu duce la un răspuns contraintuitiv. Este adesea citat pentru a evidenția ușurința cu care poate apărea confuzia în contextul probabilității chiar și în contexte care la prima vedere nu par deloc complicate de analizat.
Denumirea prin care această problemă este denumită în mod obișnuit provine din engleza „Boy or Girl paradox”.
Întrebare
Întrebarea în cauză este, într-una din primele formulări (propusă de Martin Gardner pe paginile Scientific American ): „Domnul Smith are doi copii. Cel puțin unul dintre ei este un băiat. Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți? " Se fac ipotezele simplificatoare că cele două sexe sunt la fel de probabile (în realitate se nasc ceva mai mulți băieți [1] ) și că sexele celor doi copii sunt stochastic independenți (în realitate este puțin mai probabil ca cei doi copii sunt de același sex).
Răspunsul intuitiv este că, dacă, să zicem, primul copil este bărbat, probabilitatea ca și celălalt să fie bărbat este 1/2 = 50%.
În realitate, așa cum recunoaște Gardner însuși, întrebarea este pusă într-un mod ambiguu (este ușor să ne gândim că prin „cel puțin unul” înțelegem „cu siguranță unul pe care l-am identificat în mod clar - și posibil și celălalt”), și un o posibilă reformulare - echivalentă intuitiv - care nu dă naștere la ambiguitate este următoarea:
"Domnul Smith are doi copii. Nu sunt două fete. Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți?"
Nu este dificil, folosind instrumente de probabilitate clasice simple, să descoperiți că răspunsul este atunci 1/3 = 33,3%. Mai jos sunt posibile combinații de copii care îndeplinesc condițiile date:
| Copilul 1 | Copilul 2 |
|---|---|
| | |
| Femeie | Masculin |
| Masculin | Femeie |
| Masculin | Masculin |
Rețineți că acest așa-numit paradox nu are nimic de-a face cu faptul că în natură numărul fiilor este diferit de numărul fiicelor; pe de altă parte, se presupune că probabilitatea unui copil de sex masculin este a priori egală cu cea a unei fiice de sex feminin: 1/2.
O întrebare similară cu un răspuns corect de 1/2
Ambiguitatea se află în expresia „cel puțin un copil”, ceea ce duce la înțelegerea acestui „paradox” în următoarea formulare, aparent echivalentă:
- știind că o familie are exact doi copii, dintre care primul este băiat, care este probabilitatea ca celălalt copil să fie fată?
În acest caz, răspunsul intuitiv (1/2 = 50%) este corect. De fapt, în jumătate din familii (cazurile 1 și 2) primul copil este bărbat și dintre acestea în jumătate din cazuri (caz 1) al doilea este, de asemenea, bărbat. Mai jos sunt posibile combinații de copii care îndeplinesc diferitele condiții stabilite:
| Fiul cel mai mare | Fiul mai mic |
|---|---|
| | |
| | |
| Masculin | Femeie |
| Masculin | Masculin |
Dar cu cuvintele „cel puțin un copil”, nu identificăm în mod special unul dintre cei doi copii (adică dacă este primul sau al doilea). Cuvintele „celălalt copil”, pe de altă parte, ne conduc spontan să ne imaginăm că „cel puțin unul” indică un anumit copil (de exemplu, persoana care pune întrebarea are clar în minte fața sa și dacă este primul sau al doilea ) și, prin urmare, pentru a forța sensul primei părți a întrebării.
O altă întrebare similară cu un răspuns corect de 1/2
O altă întrebare similară este următoarea:
- „Într-o lume în care toate familiile au exact doi copii (de exemplu, în asociația„ Familii cu doi copii ”), când este întâlnit un băiat, care este probabilitatea ca el să aibă o soră?
De asemenea, în acest caz a fost identificat copilul, pentru care sunt excluse cazurile: Femeie Femeie și Femeie Bărbat.
Studiu științific
Fox & Levav în 2004 au testat câțiva voluntari, punându-le una dintre următoarele două întrebări:
- „Domnul Smith spune:„ Am doi copii și cel puțin unul este băiat ”. Având în vedere aceste informații, care este probabilitatea ca celălalt copil să fie băiat? "
- „Domnul Smith spune:„ Am doi copii și amândoi nu sunt fete ”. Având în vedere aceste informații, care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți? "
Cei doi cercetători au raportat că 85% dintre persoanele care au răspuns la prima întrebare au dat 1/2 ca răspuns luând în considerare doar 2 combinații posibile, înșelate de cuvintele „celălalt copil”. La a doua întrebare, doar 39% au răspuns 1/2. Cercetătorii au demonstrat astfel că, deși (la nivelul calculului probabilității) aceeași întrebare cu aceleași cazuri de luat în considerare, formularea diferită a redus ambiguitatea și, în consecință, răspunsurile incorecte cu 46%.
