Paradox cu trei cărți
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
O problemă clasică a calculului probabilităților se numește paradoxul celor trei cărți care, în ciuda simplității sale, are o soluție destul de contraintuitivă: există trei cărți, dintre care prima (A) este roșie pe ambele părți, a doua (B ) pe o parte este roșu, iar cealaltă este albă, iar a treia (C) este albă pe ambele părți. Plasând una dintre cele trei cărți, alese la întâmplare, pe o masă, obțin că partea vizibilă este roșie. Care este probabilitatea ca partea nevizibilă să fie și roșie?
Răspunsul intuitiv conduce de obicei la răspunsul că probabilitatea căutată este egală cu 50%, deoarece doar două cărți (A și B) pot arăta culoarea roșie și doar una dintre acestea (A) poate apărea și pe cealaltă parte. culoarea roșie; cu toate acestea, răspunsul corect este 2/3.
Este contraintuitiv, de asemenea, deoarece, adesea subiectul necesar pentru a răspunde se identifică cu experimentul, simulând mental acțiunea de a amesteca cărțile și de a extrage una, este dificil să se ia în considerare faptul că, în actul de a amesteca cărțile, acestea pot fi răsturnate, condiție care este asumată de „examinată dar nu impusă de problemă.
Soluţie
Există în total 6 fețe, dintre care 3 sunt roșii și 3 albe. Numim 1 și 2 cele două fețe care aparțin cărții roșii de pe ambele părți; Numim 3 fețe roșii de hârtie roșie pe o parte și alb pe cealaltă. Este posibil ca fața vizibilă la începutul jocului să fie 1 , 2 sau 3 , cu probabilitate egală. Din trei cazuri posibile, două au ca rezultat roșu fața nevizibilă: 1 și 2 . Prin urmare, probabilitatea ca partea nevizibilă să fie roșie este de 2/3.
Intuitia sugerează un răspuns greșit de 50%, deoarece duce la nediferențierea fețelor 1 și 2 ale aceleiași cărți, așa cum este în schimb corect și demonstrat în paragrafele următoare.
Dovadă axiomatică sau frecventistă
Scoaterea unei cărți și plasarea acesteia pe masă poate duce la următoarele șase cazuri la fel de probabile, care pot apărea la fel de frecvent
- latură vizibilă = Aa = roșie, latură ascunsă = Ab = roșie
- latură vizibilă = Ab = roșie, latură ascunsă = Aa = roșie
- partea vizibilă = Ba = roșie, partea ascunsă = Bb = alb
- latură vizibilă = Bb = albă, latură ascunsă = Ba = roșie
- latură vizibilă = Ca = albă, latură ascunsă = Cb = albă
- latură vizibilă = Cb = albă, latură ascunsă = Ca = albă
excluzând ultimele trei cazuri deoarece latura vizibilă este albă, există trei cazuri în care partea vizibilă este roșie, dintre care două ascund o latură care este și roșie, deci probabilitatea este 2/3.
Altfel spus: Fie A, B și C cele trei cărți, așa cum s-a menționat mai sus: 1 și 2 fețele lui A, 3 și 4 fețele lui B, 5 și 6 fețele lui C. Putem rezuma în tabelul următor posibilele retrageri de card:
| Card de alegere | Față vizibilă | Fața acoperită | Se permite extragerea | Caz favorabil |
|---|---|---|---|---|
| LA | 1-Roșu | 2-Roșu | da | da |
| LA | 2-Roșu | 1-Roșu | da | da |
| B. | 3-Roșu | 4-Alb | da | Nu |
| B. | 4-Alb | 3-Roșu | Nu | |
| C. | 5-Alb | 6-Alb | Nu | |
| C. | 6-Alb | 5-Alb | Nu |
Ultimele trei cazuri nu pot apărea, deoarece fața vizibilă este roșie.
Dovadă cu teorema lui Bayes
Probabilitatea condiționată căutată este
- P (față roșie invizibilă | față roșie neacoperită) = P (carte roșie pe 2 fețe | față roșie neacoperită)
că sintetic putem scrie P (A | R) unde A este cartea care are ambele fețe roșii și P (A) este probabilitatea ca aceasta să fie aleasă, P (R) este în schimb probabilitatea ca partea vizibilă să fie roșie.
- Folosind teorema lui Bayes :
- P (A | R) = P (R | A) * P (A) / P (R)
Fiind
- P (R | A) = 1, adică fața în sus a cărții A este cu siguranță roșie.
- P (A) = 1/3, probabilitatea alegerii cardului A este 1/3.
Fața roșie cu fața în sus poate proveni de pe cardul A sau B, dar în timp ce pentru A probabilitatea este 1, pentru B este 1/2:
- P (R) = P (A) * P (R | A) + P (B) * P (R | B) = 1/3 * 1 + 1/3 * 1/2 = 1/2
asa de
- P (A | R) = P (R | A) * P (A) / P (R) = 1 * 1/3 / 1/2 = 2/3
Originile
Acesta este textul original al paradoxului, propus de Warren Weaver în 1950:
„Să jucăm cu trei cărți. Una este albă pe ambele părți, una este roșie pe ambele părți și una este albă pe o parte și roșie pe cealaltă. Fiecare carte este ascunsă într-o cutie neagră. Jucătorul alege una dintre cele trei cutii, scoate cartea și o așează pe masă, astfel încât să fie vizibilă doar o parte. Să presupunem că partea pe care o vedeți este albă. Manipulatorul îi propune jucătorului să parieze în mod egal că și cealaltă parte a cărții este albă (dacă este albă, mânerul câștigă, dacă este roșu, câștigă jucătorul). Este mai bine pentru jucător să accepte pariul? Pentru că?" |
Paradoxul celor trei cutii
De fapt, o versiune perfect analogă a problemei fusese deja prezentată de Joseph Bertrand în cartea sa Calcul des probabilités : există trei cutii, dintre care prima conține două monede de aur, a doua două monede de argint și a treia. una de argint: dacă extragând la întâmplare o monedă dintr-o cutie la întâmplare te găsești în mână o monedă de aur, care este probabilitatea ca și cealaltă din cutie să fie?
Soluția este și în acest caz 2/3.
Elemente conexe
- Problema lui Monty Hall
- Warren Weaver și Martin Gardner , care au descris această problemă
- Paradoxul celor doi copii
