Paradoxul zilei de naștere

Graficul arată tendința lui P (p) pe măsură ce numărul de persoane crește

Paradoxul zilei de naștere ^[1] (sau problema zilei de naștere ) este un paradox al teoriei probabilității definit în 1939 de Richard von Mises . ^[2]

Paradoxul afirmă că probabilitatea ca cel puțin două persoane dintr-un grup să aibă ziua de naștere în aceeași zi este mult mai mare decât ceea ce ar putea spune intuiția: de fapt, deja într-un grup de 23 de persoane probabilitatea este de aproximativ 0,51 (51%) ; cu 30 de persoane depășește 0,70 (70%), cu 50 de persoane atinge chiar 0,97 (97%), chiar dacă pentru a ajunge la un anumit eveniment este necesar să se ia în considerare un grup de cel puțin 366 de persoane (367 dacă luăm în considerare anul salt ). ^[3]

Descriere

Pentru a efectua calculul, folosim formula pentru probabilitatea condițională: pentru a face calculul mai ușor, presupunem că anii sunt 365 de zile. Adăugarea zilei bisective înrăutățește ușor probabilitatea, dar pe de altă parte, faptul că aniversările nu sunt la fel de probabil crește.

Se presupune că fiecare zi a anului este la fel de probabil să se nască, deși în realitate nu este cazul. ^[4]

Cea mai simplă modalitate de a calcula probabilitatea P (p) că există cel puțin două persoane aparținând unui grup de p persoane care sunt zile de naștere în aceeași zi este să calculați mai întâi probabilitatea P ₁ (p) ca acest lucru să nu se întâmple. Raționamentul este acesta: având în vedere orice persoană din grup (indiferent de ziua lor de naștere), există 364 din 365 de cazuri în care ziua de naștere a unei a doua persoane are loc într-o altă zi; dacă aveți în vedere o a treia persoană, există 363 de cazuri din 365 în care ziua de naștere este diferită de primele două persoane și așa mai departe. Exprimându cele de mai sus , în formule, probabilitatea ca toate zilele de naștere p cad la date diferite este:

P_{1}(p)={\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdots {\frac {365-p+1}{365}}={\frac {364!}{365^{p-1}(365-p)!}}

{\ displaystyle P_ {1} (p) = {\ frac {364} {365}} \ cdot {\ frac {363} {365}} \ cdots {\ frac {365-p + 1} {365}} = {\ frac {364!} {365 ^ {p-1} (365-p)!}}}

P_ {1} (p) = {\ frac {364} {365}} \ cdot {\ frac {363} {365}} \ cdots {\ frac {365-p + 1} {365}} = {\ frac {364!} {365 ^ {{p-1}} (365-p)!}}

și, prin urmare, probabilitatea evenimentului său complementar , adică să existe cel puțin două zile de naștere egale, este

$P(p)=1-P_{1}(p)=1-{\frac {364!}{365^{p-1}(365-p)!}}$ ${\ displaystyle P (p) = 1-P_ {1} (p) = 1 - {\ frac {364!} {365 ^ {p-1} (365-p)!}}}$ $P (p) = 1-P_ {1} (p) = 1 - {\ frac {364!} {365 ^ {{p-1}} (365-p)!}}$

Acest paradox are implicații importante în criptografie și în dimensionarea blocului de criptat . În special, în criptografie, paradoxul zilei de naștere este folosit pentru a indica faptul că funcțiile hash criptografice au proprietatea „rezistenței puternice la coliziune”. De exemplu, o funcție hash care produce un rezultat pe N biți va fi considerată nesigură atunci când este generată $2^{\frac {N}{2}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ frac {N} {2}}}$ $2 ^ {{{\ frac {N} {2}}}}$ rezultate deoarece există o probabilitate de peste 50% să fi găsit o coliziune, rezultatul este evident mult sub $2^{N-1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {N-1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {N-1}}$ elemente necesare sugerate de intuiție.

Notă

^ Termenul paradox nu trebuie înțeles în sensul unei contradicții logice ( antinomie ), ci în sensul că adevărul matematic contrazice intuiția naturală. Mulți oameni cred că această probabilitate crește mult mai lent cu dimensiunea grupului. În special, pare aproape absurd că 50 de persoane sunt suficiente pentru a avea o probabilitate de aproape 100%.
^ Jim Al-Khalili, Paradoxul zilei de naștere , pe ilpost.it , 5 februarie 2013.
^ Aceasta este o aplicare imediată a așa-numitului principiu al sertarului : cu un număr de persoane egal cu numărul de zile dintr-un an (365 sau 366 într-un an bisect) rămâne posibilitatea, deși minimă, ca aceștia să aibă anii lor în zile, diferiți, acoperind astfel toate datele posibile; numai cu adăugarea unei alte persoane, aceasta, în absența altor date disponibile, trebuie să aibă în mod necesar aceeași zi de naștere ca una dintre cele anterioare, asigurându-se astfel că cel puțin două persoane au aceeași zi de naștere.
^ https://www.termometropolitico.it/1266309_mese-di-nascita-si-nasce-piu-europa-infografiche.html

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Paradoxul zilei de naștere

linkuri externe

Paradoxul zilei de naștere , pe ilpost.it .

Portal de criptografie

Portalul de matematică

[1] Termenul paradox nu trebuie înțeles în sensul unei contradicții logice ( antinomie ), ci în sensul că adevărul matematic contrazice intuiția naturală. Mulți oameni cred că această probabilitate crește mult mai lent cu dimensiunea grupului. În special, pare aproape absurd că 50 de persoane sunt suficiente pentru a avea o probabilitate de aproape 100%.

[2] Jim Al-Khalili, Paradoxul zilei de naștere , pe ilpost.it , 5 februarie 2013.

[3] Aceasta este o aplicare imediată a așa-numitului principiu al sertarului : cu un număr de persoane egal cu numărul de zile dintr-un an (365 sau 366 într-un an bisect) rămâne posibilitatea, deși minimă, ca aceștia să aibă anii lor în zile, diferiți, acoperind astfel toate datele posibile; numai cu adăugarea unei alte persoane, aceasta, în absența altor date disponibile, trebuie să aibă în mod necesar aceeași zi de naștere ca una dintre cele anterioare, asigurându-se astfel că cel puțin două persoane au aceeași zi de naștere.

[4] ttps://www.termometropolitico.it/1266309_mese-di-nascita-si-nasce-piu-europa-infografiche.html

[1]

[2]

[3]

[4]