Predicat funcțional

În logica matematică , pentru predicat funcțional sau formulă funcțională sau simbol funcțional în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ne referim la un predicat $\Phi (x,y)$ ${\ displaystyle \ Phi (x, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (x, y)}$ , unde variabilele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ trebuie să fie gratuit , având următoarea proprietate:

$\forall x{\Bigl (}\exists y{\bigl (}\Phi (x,y){\bigr )}\Rightarrow \forall z{\bigl (}\Phi (x,z)\Rightarrow (z=y){\bigr )}{\Bigr )}.$ ${\ displaystyle \ forall x {\ Bigl (} \ există y {\ bigl (} \ Phi (x, y) {\ bigr)} \ Rightarrow \ forall z {\ bigl (} \ Phi (x, z) \ Rightarrow (z = y) {\ bigr)} {\ Bigr)}.}$ ${\ displaystyle \ forall x {\ Bigl (} \ există y {\ bigl (} \ Phi (x, y) {\ bigr)} \ Rightarrow \ forall z {\ bigl (} \ Phi (x, z) \ Rightarrow (z = y) {\ bigr)} {\ Bigr)}.}$

Cu alte cuvinte, am reparat o variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ teoria sau nu există o variabilă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a teoriei care verifică predicatul $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ sau, dacă există o variabilă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care, împreună cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ verifica $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ , apoi orice altă variabilă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ care verifică $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este neapărat egal cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . În caz contrar, setați o variabilă generică $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , există cel mult o variabilă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ (adică fie nu există, fie, dacă există unul, atunci există doar unul) care verifică predicatul $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ .

În mod echivalent, un predicat $\Phi (x,y)$ ${\ displaystyle \ Phi (x, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (x, y)}$ unde variabilele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ nevoie liberă este funcțională în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de sine $\forall x\forall y\forall z{\Bigl (}{\bigl (}\Phi (x,y)\wedge \Phi (x,z){\bigr )}\Rightarrow (y=z){\Bigr )}.$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall y \ forall z {\ Bigl (} {\ bigl (} \ Phi (x, y) \ wedge \ Phi (x, z) {\ bigr)} \ Rightarrow (y = z) {\ Bigr)}.}$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall y \ forall z {\ Bigl (} {\ bigl (} \ Phi (x, y) \ wedge \ Phi (x, z) {\ bigr)} \ Rightarrow (y = z) {\ Bigr)}.}$