Problema șoarecilor

În matematică , în problema mouse - ului - numită și problema gândacului - $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ șoarecii încep de la vârfurile unui poligon regulat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile unității de lungime și fiecare mouse se deplasează către cel mai apropiat însoțitor, deplasându-se în sens invers acelor de ceasornic și cu o viteză constantă. Problema cere să se determine traiectoria fiecărui mouse și punctul de întâlnire al acestora.

Soluţie

Fiecare mouse desenează o spirală logaritmică (care în cazul $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle n = 2}$ degenerează în linie dreaptă), toate animalele se întâlnesc în centrul poligonului și parcurg o distanță - în funcție de numărul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de laturi ale poligonului - egală cu

d_{n}={\frac {1}{1-\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}}

{\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}}}

{\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}}}

n = 2

Cazul n = 2

În acest caz, cei doi șoareci călătoresc printr-un spațiu, care poate fi obținut din formulă

d_{2}={\frac {1}{1-\cos \left({\frac {2\pi }{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}

{\ displaystyle d_ {2} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {2}} \ right)}} = {\ frac {1} {2}} }

{\ displaystyle d_ {2} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {2}} \ right)}} = {\ frac {1} {2}} }

și apoi se întâlnesc în centrul segmentului. Rețineți că, deoarece viteza celor doi șoareci este aceeași și se mișcă în linie dreaptă, acest rezultat a fost în mare parte previzibil.

n = 3

Cazul n = 3

În cazul triunghiului, traiectoria spirală logaritmică este clar vizibilă. Spațiul acoperit poate fi întotdeauna obținut ca

d_{3}={\frac {1}{1-\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)}}={\frac {2}{3}}

{\ displaystyle d_ {3} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)}} = {\ frac {2} {3}} }

{\ displaystyle d_ {3} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)}} = {\ frac {2} {3}} }

n = 6

Cazul n = 6

Pe măsură ce numărul laturilor poligonului crește, crește distanța parcursă de șoareci, care, în orice caz, se întâlnesc în centrul figurii. În cazul hexagonului avem asta

d_{6}={\frac {1}{1-\cos \left({\frac {2\pi }{6}}\right)}}=2

{\ displaystyle d_ {6} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {6}} \ right)}} = 2}

{\ displaystyle d_ {6} = {\ frac {1} {1- \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {6}} \ right)}} = 2}

Generalizări

Problema poate fi generalizată și în cazul poligoanelor neregulate, în cazul șoarecilor care se mișcă la viteze diferite și cu puncte de plecare diferite. Problema șoarecilor în sine ar putea părea o simplă curiozitate matematică, dar poate fi extinsă la alte domenii, cum ar fi cel militar al analizei traiectoriilor rachetelor de cercetare termică .

Elemente conexe

Spirală logaritmică

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre problema șobolanilor

linkuri externe

( EN ) Un articol în limba engleză pe MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică