Proprietățile termice ale nanostructurilor

Considerent general

Pe măsură ce dispozitivele continuă să se micșoreze sub 100 nm, urmând tendința prezisă de legea lui Moore , problema proprietăților termice și a transportului acestor dispozitive nanometrice devine din ce în ce mai importantă. Dovezile unui mare potențial în nanostructuri pentru aplicații termoelectrice motivează, de asemenea, studii privind transportul termic în astfel de dispozitive. ^[1] Aceste industrii generează totuși două cerințe contradictorii: conductivitate termică ridicată care abordează problemele de încălzire la dispozitive sub 100nm și conductivitate termică scăzută pentru aplicații termoelectrice. Aceste probleme pot fi abordate cu inginerie fononică odată ce comportamentele termice la nanoscală au fost studiate și înțelese. ^[2]

Efectul lungimii limitate a structurii

În general, două tipuri de purtători pot contribui la conductivitatea termică: electroni și fononi . În nanostructuri, fononii domină de obicei, iar proprietățile fononice ale structurii sunt de o importanță deosebită pentru conductivitatea termică. ^[1] ^[3] ^[4] Aceste proprietăți fononice includ: viteza grupului fononic , mecanismele de dispersie a fononului , capacitatea de căldură , parametrul lui Grüneisen . Spre deosebire de materialele grosiere, dispozitivele la scară nano au proprietăți termice care sunt complicate de efectele limitelor (limitelor) din cauza dimensiunilor mici. S-a demonstrat că, în unele cazuri, efectele dispersiei fonon-limită domină procesele de conducere termică, reducând-o. ^[1] ^[5]

În funcție de dimensiunea nanostructurii (L), valorile medii ale drumului liber (Λ) ale fononului pot fi comparabile sau mai mari decât dimensiunea obiectului. Când L este mai mare decât calea liberă medie a fononului, procesul de dispersie Umklapp limitează conductivitatea termică (regimul conductivității termice difuzive). Atunci când L este comparabilă cu sau mai mică decât calea liberă medie (care este de ordinul a 1 um pentru nanostructuri de carbon, ^[6] ) , modelul continuu de energie utilizat pentru materiale grosiere nu se mai aplică și , de asemenea , noi trebuie să ia în considerare luarea în considerare a non -aspecte locale și de neechilibru pentru transferul de căldură . ^[1] În acest caz, fononii din structurile fără defecte s-ar putea propaga fără dispersie, iar conductivitatea termică devine balistică (similară cu conductivitatea balistică ). Modificări mai grave ale comportamentului termic sunt observate atunci când dimensiunea caracteristicii L se îngustează și mai mult spre lungimea de undă a fononilor. ^[7]

Caracteristicile diferitelor nanostructuri

În această secțiune vom detalia proprietățile termice ale nanostructurilor comune, inclusiv nanofirurile , nanotuburile și filmele subțiri .

Nanofire

Măsurători ale conductivității termice

Prima măsurare a conductivității termice în nanofirurile de siliciu a fost publicată în 2003. ^[5] Au fost evidențiate două caracteristici importante:
1) Conductivitatea termică măsurată este semnificativ mai mică decât cea a majorității Si în vrac și, pe măsură ce diametrul firului scade, conductivitatea termică corespunzătoare scade.
2) Pe măsură ce diametrul firului scade, dispersia limitelor fononului domină dispersia Umklapp între fonon și fonon, ceea ce scade conductivitatea termică împreună cu o creștere a temperaturii. Pentru firele de 56 nm și 115 nm s-a observat dependența de k ~ T ³ , în timp ce pentru un fir de 37 nm este k ~ T ² și pentru un fir de 22 nm k ~ T. Chen și colab. ^{[8] a} arătat că încrucișarea unidimensională pentru un nanofir de siliciu de 20 nm are loc în jurul valorii de 8K, în timp ce fenomenul a fost observat pentru valori de temperatură mai mari de 20K. Motivul acestui comportament nu se află în confinarea experimentată de fononi, astfel încât structurile tridimensionale prezintă un comportament bidimensional sau unidimensional.

Modele teoretice pentru nanofire

Contribuții ale diferitelor moduri fononice pentru conductivitatea termică

Dacă se presupune că ecuația de transport Boltzmann este validă, conductivitatea termică poate fi scrisă ca:

k={\frac {1}{3}}Cv_{g}\Lambda ={\frac {1}{3}}Cv_{g}^{2}\tau

{\ displaystyle k = {\ frac {1} {3}} Cv_ {g} \ Lambda = {\ frac {1} {3}} Cv_ {g} ^ {2} \ tau}

{\ displaystyle k = {\ frac {1} {3}} Cv_ {g} \ Lambda = {\ frac {1} {3}} Cv_ {g} ^ {2} \ tau}

unde C este capacitatea de căldură, v _g este viteza grupului și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este timpul de relaxare. Rețineți că această ipoteză nu se menține atunci când dimensiunile sistemului sunt comparabile cu lungimea de undă mai mică sau aceeași a fononilor responsabili de transportul termic. În cazul nostru, fiind lungimile de undă ale fononilor în general de ordinul 1 nm ^[9] și nanofirele luate în considerare de ordinul zecilor de nanometri, ipoteza este valabilă.

Diferite contribuții ale modurilor fononice pentru conducerea căldurii pot fi extrase din analiza datelor experimentale referitoare la nanofile de siliciu de diferite diametre ^{[1] pentru} a extrage produsul C · v _g pentru analiză. S-a demonstrat că toate modurile fononice care contribuie la transportul termic sunt excitate cu mult sub temperatura Debye (645 K) de Si.

Din ecuația conductivității termice, putem scrie produsul C · v _g pentru fiecare derivare a fononului izotrop i .

(Cv_{g})_{i}={\frac {k_{B}^{4}T^{3}}{2\hbar ^{3}\pi ^{2}}}\int {\frac {1}{v_{p,i}^{2}}}\left[{\frac {x^{4}\exp(x)}{(\exp(x)-1)^{2}}}\right]\,dx

{\ displaystyle (Cv_ {g}) _ {i} = {\ frac {k_ {B} ^ {4} T ^ {3}} {2 \ hbar ^ {3} \ pi ^ {2}}} \ int {\ frac {1} {v_ {p, i} ^ {2}}} \ left [{\ frac {x ^ {4} \ exp (x)} {(\ exp (x) -1) ^ {2 }}} \ right] \, dx}

{\ displaystyle (Cv_ {g}) _ {i} = {\ frac {k_ {B} ^ {4} T ^ {3}} {2 \ hbar ^ {3} \ pi ^ {2}}} \ int {\ frac {1} {v_ {p, i} ^ {2}}} \ left [{\ frac {x ^ {4} \ exp (x)} {(\ exp (x) -1) ^ {2 }}} \ right] \, dx}

unde este $x=h\omega /k_{B}T$ ${\ displaystyle x = h \ omega / k_ {B} T}$ ${\ displaystyle x = h \ omega / k_ {B} T}$ Și $v_{p,i}$ ${\ displaystyle v_ {p, i}}$ ${\ displaystyle v_ {p, i}}$ este viteza de fază a fononului, care este mai puțin sensibilă la dispersiile fononice decât viteza grupului v _g .

Multe modele de transport termic de fonon ignoră efectele fononilor acustici transversali de înaltă frecvență (TA) datorită vitezei lor mici de grup. (Contribuțiile fononilor optici sunt, de asemenea, ignorate din același motiv.) Cu toate acestea, ramura superioară a fononilor TA au o viteză de grup diferită de zero la limita zonei Brillouin de-a lungul direcției Γ-Κ și, de fapt, un comportament similar fononilor acustici longitudinali (LA, acustici longitudinali) și poate contribui la transportul căldurii.

Apoi, posibilele moduri fononice care contribuie la conducerea căldurii sunt atât fononi LA, cât și TA la frecvențe joase și înalte. Folosind curbele de dispersie corespunzătoare, produsul C · v _g poate fi apoi calculat și adaptat la datele experimentale. Cea mai bună măsură a fost găsită atunci când contribuția fononilor TA de înaltă frecvență este evaluată ca 70% din produs la temperatura camerei. Restul de 30% este asigurat de fononii de joasă frecvență LA și TA.

Utilizarea dispersiilor fononice complete

Conductivitatea termică în nanofire poate fi calculată pe baza dispersiilor fononice complete în loc de pe relațiile de dispersie liniarizate utilizate în mod obișnuit pentru a calcula conductivitatea termică a materialului grosier (vrac) ^[10] .

Presupunând că transportul fononului este difuziv și ecuația de transport Boltzmann (BTE) este validă, conductivitatea termică a nanofirului G (T) poate fi definită ca:

G(T)\simeq \sum _{\alpha }{\int {{\frac {\lambda _{a}(k_{z})}{L}}{\frac {\hbar \omega _{\alpha }(k_{z})}{2\pi }}{\frac {df_{b}}{dT}}v_{z}(\alpha ,k_{z})dk_{z}}}

{\ displaystyle G (T) \ simeq \ sum _ {\ alpha} {\ int {{\ frac {\ lambda _ {a} (k_ {z})} {L}} {\ frac {\ hbar \ omega _ {\ alpha} (k_ {z})} {2 \ pi}} {\ frac {df_ {b}} {dT}} v_ {z} (\ alpha, k_ {z}) dk_ {z}}}}

{\ displaystyle G (T) \ simeq \ sum _ {\ alpha} {\ int {{\ frac {\ lambda _ {a} (k_ {z})} {L}} {\ frac {\ hbar \ omega _ {\ alpha} (k_ {z})} {2 \ pi}} {\ frac {df_ {b}} {dT}} v_ {z} (\ alpha, k_ {z}) dk_ {z}}}}

unde variabila α reprezintă numerele cuantice asociate benzilor inferioare în relațiile de dispersie unidimensională a fononului, f _B reprezintă distribuția Bose-Einstein, v _z este viteza fononului în direcția z și λ este lungimea fononului extensie de-a lungul direcției lungimii firului. Conductivitatea termică este exprimată ca:

k(T)={\frac {1}{S}}\sum {\alpha }{\int _{0}^{\frac {\pi }{a_{z}}}\lambda _{\alpha }(k_{z}){\frac {\hbar \omega _{\alpha }(k_{z})}{2\pi }}{\frac {df_{B}}{dT}}v_{z}(\alpha ,k_{z})\,dk_{z}}

{\ displaystyle k (T) = {\ frac {1} {S}} \ sum {\ alpha} {\ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {a_ {z}}} \ lambda _ { \ alpha} (k_ {z}) {\ frac {\ hbar \ omega _ {\ alpha} (k_ {z})} {2 \ pi}} {\ frac {df_ {B}} {dT}} v_ { z} (\ alfa, k_ {z}) \, dk_ {z}}}

{\ displaystyle k (T) = {\ frac {1} {S}} \ sum {\ alpha} {\ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {a_ {z}}} \ lambda _ { \ alpha} (k_ {z}) {\ frac {\ hbar \ omega _ {\ alpha} (k_ {z})} {2 \ pi}} {\ frac {df_ {B}} {dT}} v_ { z} (\ alfa, k_ {z}) \, dk_ {z}}}

unde S este aria secțiunii transversale a firului, a _z este constanta rețelei.

S-a arătat ^[10] că, utilizând această formulă și calculând atomistic dispersiile fononice (cu potențiale interatomice dezvoltate în aceasta ^[11] ), este posibil să se calculeze în mod previzibil curbele de conductivitate termică ale rețelei pentru nanofire, în acord cu experimente. Pe de altă parte, rezultatele corecte nu au putut fi obținute cu formula aproximativă a lui Callaway. ^[12] Se consideră că aceste rezultate sunt aplicate „nanoșchirelor”, unde efectele confinării fononice sunt nesemnificative. Nanofilele Si mai mari de ~ 35 nm intră în această categorie. ^[10]

Nanofire foarte subțire

Pentru nanofile cu diametru mare, modelele teoretice sunt comparabile cu calea liberă medie, care este independentă de frecvența fononilor capabili să se potrivească îndeaproape cu rezultatele experimentale. Dar pentru nanofile foarte subțiri ale căror dimensiuni sunt comparabile cu lungimea de undă a fononului dominant, este necesar un nou model. Un studiu ^[8] a arătat că, în astfel de cazuri, limita de împrăștiere a fononului (limită) depinde de frecvență. Prin urmare, noua cale liberă medie ar fi utilizată:

l^{-1}=B\left({\frac {h}{d}}\right)^{2}{\frac {1}{d}}\left({\frac {\omega }{\omega _{D}}}\right)^{2}N(\omega )

{\ displaystyle l ^ {- 1} = B \ left ({\ frac {h} {d}} \ right) ^ {2} {\ frac {1} {d}} \ left ({\ frac {\ omega } {\ omega _ {D}}} \ right) ^ {2} N (\ omega)}

{\ displaystyle l ^ {- 1} = B \ left ({\ frac {h} {d}} \ right) ^ {2} {\ frac {1} {d}} \ left ({\ frac {\ omega } {\ omega _ {D}}} \ right) ^ {2} N (\ omega)}

Aici, l este calea liberă medie (cum ar fi Λ). Parametrul h este scala de lungime asociată cu regiunea dezordonată, d este diametrul, N (ω) este numărul de moduri la frecvența ω și B este o constantă legată de regiunea tulburării. ^[8]

Conductanța termică este apoi calculată utilizând formula lui Landauer:

G(T)={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {N_{1}(\omega )}{1+L/l(\omega )}}+{\frac {N_{2}(\omega )}{1+L/d}}\right){\frac {\hbar ^{3}\omega ^{2}}{k_{B}T^{2}}}\times {\frac {e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}}{{(e^{\frac {\hbar \omega }{k_{b}T}}-1)}^{2}}}}

{\ displaystyle G (T) = {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {N_ {1} (\ omega)} {1 + L / l (\ omega)}} + {\ frac {N_ {2} (\ omega)} {1 + L / d}} \ right) {\ frac {\ hbar ^ {3} \ omega ^ {2}} {k_ {B} T ^ {2}}} \ times {\ frac {e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T}}} {{(e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {b} T}} - 1)} ^ {2}}}}}

{\ displaystyle G (T) = {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {N_ {1} (\ omega)} {1 + L / l (\ omega)}} + {\ frac {N_ {2} (\ omega)} {1 + L / d}} \ right) {\ frac {\ hbar ^ {3} \ omega ^ {2}} {k_ {B} T ^ {2}}} \ times {\ frac {e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T}}} {{(e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {b} T}} - 1)} ^ {2}}}}}

Nanotuburi de carbon

La fel ca structurile de grafit la scară nano, nanotuburile de carbon sunt de mare interes datorită proprietăților lor termice. Conductivitatea termică specifică la temperatură scăzută și conductivitatea termică arată dovezi directe ale unei cuantificări 1-D a structurii benzii fononice. Modelarea căldurii specifice la o temperatură scăzută face posibilă determinarea vitezei fononului în țeavă, împărțirea subbandelor fononului într-un singur tub și interacțiunea dintre tuburile vecine într-un fascicul (fascicul).

Măsurători ale conductivității termice

Măsurătorile demonstrează conductivitatea termică a nanotuburilor de carbon cu perete unic (SWNT) de aproximativ 3500 W / (m K) la temperatura camerei ^[13] și peste 3000 W / (m K) pentru nanotuburile de carbon cu pereți multipli (MWNT). ^[14] Adăugarea nanotuburilor la epoxidice poate dubla conductivitatea termică pentru o sarcină de numai 1%, arătând că materialele compozite pentru nanotuburi pot fi utile pentru aplicații în domeniul managementului termic.

Modele teoretice pentru nanotuburi

Conductivitatea termică în NTC-uri se datorează în principal fononilor mai degrabă decât electronilor ^[15], astfel încât legea Wiedemann-Franz nu este aplicabilă.

În general, conductivitatea termică este o calitate a tensorului, dar în această analiză, este important să se ia în considerare doar elementele diagonale:

k_{zz}=\sum C{v_{z}}^{2}\tau

{\ displaystyle k_ {zz} = \ sum C {v_ {z}} ^ {2} \ tau}

{\ displaystyle k_ {zz} = \ sum C {v_ {z}} ^ {2} \ tau}

unde C este căldura specifică și v _z e $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ sunt viteza grupului și timpul de relaxare al unei stări de fonon date.

La temperaturi scăzute (T este mult mai scăzut decât temperatura Debye), timpul de relaxare este determinat de împrăștierea impurităților fixe, defecte, contururile probei etc. și este aproximativ constantă. Prin urmare, în materialele obișnuite, conductivitatea termică la temperatură scăzută are aceeași dependență de temperatură ca și căldura specifică. Cu toate acestea, în materialele anizotrope, această relație nu ține bine. Deoarece contribuția fiecărei stări este ponderată cu timpul de împrăștiere și cu pătratul vitezei, conductivitatea termică testează preferențial stările cu o rată și un timp de dispersie ridicate. De exemplu, în grafit, conductivitatea termică paralelă cu planurile bazale este doar slab dependentă de fononii între straturi (interstrat). În pachetele SWNT, este probabil ca k (T) să depindă doar de fononii din tub, mai degrabă decât de modurile inter-tub.

Conductivitatea termică prezintă un interes deosebit în sistemele cu dimensiuni reduse. Pentru NTC-uri, reprezentate ca un canal electronic balistic 1-D, conductanța electronică este cuantificată cu o valoare universală de

G_{0}={\frac {2e^{2}}{h}}

{\ displaystyle G_ {0} = {\ frac {2e ^ {2}} {h}}}

{\ displaystyle G_ {0} = {\ frac {2e ^ {2}} {h}}}

În mod similar, pentru un singur canal balistic 1-D, conductanța termică depinde de parametrii materialelor și de unde există o cuantă de conductivitate termică, care este liniară în temperatură ^[16] :

G_{th}={\frac {\pi ^{2}{k_{B}}^{2}T}{3h}}

{\ displaystyle G_ {th} = {\ frac {\ pi ^ {2} {k_ {B}} ^ {2} T} {3h}}}

{\ displaystyle G_ {th} = {\ frac {\ pi ^ {2} {k_ {B}} ^ {2} T} {3h}}}

Condițiile pentru observarea acestei cuante au fost examinate mai întâi în detaliu de Rego și Kirczenow. ^[17] Folosind nanostructuri definite litografic, Schwab și colab. ^{[18] a} confirmat această valoare experimental.

La temperaturi ridicate, dispersia Umklapp cu trei fonuri începe să limiteze timpul de relaxare a fononului. Prin urmare, conductivitatea termică fonică arată un vârf care scade odată cu creșterea temperaturii. Umklapp de împrăștiere necesită producerea unei fononice dincolo de limita zonei Brillouin; Datorită temperaturii ridicate Debye a diamantului și a grafitului, vârful conductivității termice a acestor materiale este aproape de 100K, semnificativ mai mare decât majoritatea celorlalte materiale. În formele mai puțin cristaline de grafit, cum ar fi fibrele de carbon, vârful k (T) apare la temperaturi mai ridicate, deoarece împrăștierea defectelor rămâne dominantă în dispersia Umklapp la temperaturi mai ridicate. ^[19] În sistemele cu dimensiuni reduse, este dificil să se păstreze atât energia, cât și impulsul pentru procesele Umklapp ^[20] și, prin urmare, poate fi posibil ca dispersia Umklapp să fie suprimată în nanotuburi cu forme de carbon 2-D sau 3-D.

Berber și colab. ^{[21] a} calculat conductivitatea termică a fononului nanotuburilor izolate. Valoarea k (T) atinge aproximativ 100 K, scăzând odată cu creșterea temperaturii. Valoarea lui k (T) la vârful maxim (37.000 W / (m · K)) este comparabilă cu cea mai înaltă conductivitate termică măsurată vreodată (41.000 W / (m · K) pentru o probă de diamant izotopic pură la 104 K). Chiar și la temperatura camerei, conductivitatea termică este destul de ridicată (6600 W / (m K)), mai mare decât conductivitatea termică ambientală a diamantului izotopic pur cu aproape un factor de 2.

În grafit, interacțiunile între straturi diminuează conductivitatea termică cu aproape 1 ordin de mărime ^{[ Citație necesară ].} Este probabil ca același proces să aibă loc în pachete de nanotuburi (pachete) ^{[ Citație necesară ].} Prin urmare, este semnificativ faptul că cuplarea țevilor în fascicule este mai slabă decât se aștepta ^{[ Citație necesară ].} Este posibil ca această cuplare slabă, care devine problematică pentru aplicațiile mecanice ale nanotuburilor, să fie un avantaj pentru aplicațiile termice.

Densitatea fononică a stărilor pentru nanotuburi

Densitatea fononică a stărilor este calculată prin structura de bandă a nanotuburilor izolate, studiată de Saito și colab. ^[22] ^[23] și Sanchez-Portal și colab. ^[24] Când o foaie de grafen este „rulată” într-un nanotub, structura benzii 2-D se înfășoară într-un număr mare de sub-benzi 1-D. Într-un tub (10.10), de exemplu, cele șase benzi fononice (trei acustice și trei optice) ale foii de grafen devin 66 sub-benzi separate 1-D. Un rezultat direct al acestei înfășurări este că densitatea nanotubului de stări are un număr de vârfuri ascuțite datorită singularităților 1-D Van Hove , absente în grafen și grafit. În ciuda prezenței acestor singularități, densitatea globală a stărilor este similară cu energiile mari, deci căldura temperaturii specifice ridicate ar trebui să fie, de asemenea, aproximativ egală. Acest lucru este în mod evident previzibil: fononii cu energie ridicată reflectă mai mult legătura carbon-carbon decât geometria foii de grafen.

Filme subțiri

Filmele subțiri sunt răspândite în industria micro și nanoelectronică pentru fabricarea senzorilor, actuatorilor și tranzistoarelor; prin urmare, proprietățile transportului termic afectează performanța și fiabilitatea multor structuri, cum ar fi tranzistoare, lasere în stare solidă, senzori și actuatori. Deși aceste dispozitive sunt fabricate în mod tradițional din material grosier cristalin (siliciu), ele conțin adesea pelicule subțiri de oxizi, polisilicon, metal, precum și super-rețele precum GaAs / AlGaAs grămezi de film subțire pentru lasere.

Pelicule subțiri monocristaline

Filmele de siliciu pe izolator (SOI, siliciu pe izolator) cu o grosime de siliciu cuprinsă între 0,05 uM și 10 uM pe lângă un strat de dioxid de siliciu îngropat sunt din ce în ce mai populare pentru dispozitivele semiconductoare datorită izolației dielectrice crescute asociate cu napolitane SOI / SOI ^[25] conținând un strat subțire de siliciu peste un strat de oxid și o peliculă subțire de siliciu monocristalin, care reduce conductivitatea termică efectivă a materialului cu până la 50% în comparație cu siliciu masiv, datorită interfeței fononice împrăștierea , defectele și luxațiile structurii cristaline. S-a sugerat că există o dependență slabă de grosimea peliculei, deoarece conductivitatea termică este limitată în principal de luxații în structura membranei, mai degrabă decât de efecte de dispersie a limitelor fononice. ^[26] Studii anterioare realizate de Asheghi și colab. arată o tendință similară. ^[25] Alte studii cu film subțire arată efecte termice similare ^{[ Citație necesară ].}

Superreticule

Proprietățile termice asociate super-rețelelor sunt esențiale pentru dezvoltarea laserului semiconductor. Conducerea de căldură a superrețelelor este mai puțin înțeleasă decât cea a filmelor subțiri omogene. S-a teoretizat că superrețelele au o conductivitate termică mai mică datorită impurităților din discrepanțele rețelei și heterojuncții. În acest caz, trebuie luată în considerare împrăștierea interfeței fononice la heterojuncții; împrăștierea complet elastică subestimează conducerea căldurii, în timp ce împrăștierea complet inelastică o supraestimează. ^[27] ^[28] De exemplu, o super-rețea cu film subțire Si / Ge are o scădere mai mare a conductivității termice decât o stivă de film AlAs / GaAs ^[29] datorită decalajului de rețea crescut. O estimare simplă a conducției de căldură a superrețelelor este:

k_{n}=\left({\frac {C_{1}v_{1}C_{2}v_{2}}{C_{1}v_{1}+C_{2}v_{2}}}\right)\left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)

{\ displaystyle k_ {n} = \ left ({\ frac {C_ {1} v_ {1} C_ {2} v_ {2}} {C_ {1} v_ {1} + C_ {2} v_ {2} }} \ right) \ left ({\ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} \ right)}

{\ displaystyle k_ {n} = \ left ({\ frac {C_ {1} v_ {1} C_ {2} v_ {2}} {C_ {1} v_ {1} + C_ {2} v_ {2} }} \ right) \ left ({\ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2}} \ right)}

unde C ₁ și C ₂ sunt capacitatea termică corespunzătoare a filmului 1 și respectiv a filmului 2, v ₁ și v ₂ sunt viteza de propagare acustică în filmul 1 și filmul 2, în timp ce d1 și d2 sunt grosimile filmului 1 și ale filmului 2 Acest model neglijează împrăștierea în straturi, în timp ce presupune o împrăștiere complet difuză și inelastică. ^[30]

Pelicule policristaline

Filmele policristaline sunt frecvente în dispozitivele semiconductoare, deoarece poarta electrodului unui tranzistor cu efect de câmp este adesea realizată din siliciu policristalin. Dacă dimensiunea particulelor polisiliconului este mică, împrăștierea internă a limitelor boabelor poate copleși efectele dispersiei la limita filmului. În plus, limitele granulare conțin mai multe impurități, rezultate din dispersia sa. La fel, filmele amorf sau dezordonate vor experimenta o reducere ridicată a conductivității termice, deoarece dimensiunea boabelor mici se realizează în numeroase efecte de dispersie a granulelor încrucișate. ^[31] Diferite metode de depunere a filmelor amorfe vor duce la diferențe de impurități și dimensiunea particulelor ^[30] .

Cea mai simplă abordare pentru modelarea dispersiei fononice la limitele bobului este creșterea ratei de dispersie prin introducerea acestei ecuații:

\tau _{G}^{-1}=B{\frac {v}{d_{G}}}

{\ displaystyle \ tau _ {G} ^ {- 1} = B {\ frac {v} {d_ {G}}}}

{\ displaystyle \ tau _ {G} ^ {- 1} = B {\ frac {v} {d_ {G}}}}

unde B este un parametru adimensional care se referă la coeficientul de reflexie a fononului la limitele bobului, d _G este dimensiunea caracteristică a bobului și v este viteza fononului prin material. O abordare mai formală pentru evaluarea ratei de scurgere este:

{\tau _{G}}^{-1}={\frac {2\nu }{\pi d_{G}}}\left[1-\exp \left(-{\frac {\pi ^{2}}{4}}\nu _{G}\right)\right]

{\ displaystyle {\ tau _ {G}} ^ {- 1} = {\ frac {2 \ nu} {\ pi d_ {G}}} \ left [1- \ exp \ left (- {\ frac {\ pi ^ {2}} {4}} \ nu _ {G} \ right) \ right]}

{\ displaystyle {\ tau _ {G}} ^ {- 1} = {\ frac {2 \ nu} {\ pi d_ {G}}} \ left [1- \ exp \ left (- {\ frac {\ pi ^ {2}} {4}} \ nu _ {G} \ right) \ right]}

unde v _G este puterea adimensională a dispersiei granulelor, definită ca

\nu _{G}=\sum _{j}\sigma _{j}\nu _{j}

{\ displaystyle \ nu _ {G} = \ sum _ {j} \ sigma _ {j} \ nu _ {j}}

{\ displaystyle \ nu _ {G} = \ sum _ {j} \ sigma _ {j} \ nu _ {j}}

Aici $\sigma _{j}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {j}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {j}}$ este secțiunea transversală a unei zone granulare-limită, iar ν _j este densitatea zonei granulare granulare ^[30] .

Măsurarea conductivității termice a peliculelor subțiri

Există două abordări pentru determinarea experimentală a conductivității termice a peliculelor subțiri. Scopul metrologiei experimentale a conductivității termice a peliculelor subțiri este de a realiza o măsurare termică precisă fără a le modifica proprietățile.

Încălzirea electrică este utilizată pentru filmele subțiri care au o conductivitate termică mai mică decât substratul și este destul de precisă în măsurarea conductivității în afara planului . Adesea, un încălzitor rezistiv și termistor sunt fabricate pe pelicula de probă folosind un metal extrem de conductiv, cum ar fi aluminiu . Cea mai directă abordare ar fi aplicarea unui curent în stare stabilă și măsurarea schimbării de temperatură a termistorilor adiacenți. O abordare mai versatilă utilizează un semnal de curent alternativ aplicat electrozilor. A treia armonică a semnalului de curent alternativ relevă fluctuațiile de încălzire și temperatură ale materialului. ^[30]

Încălzirea cu laser este o metodă de metrologie fără contact care utilizează impulsuri pico- și nanosecunde pentru a furniza energie termică substratului. Încălzirea cu laser utilizează un mecanism de pompare-sondă; fasciculul pompei introduce energie în pelicula subțire, pe măsură ce fasciculul sondei preia caracteristicile modului în care energia se propagă prin film. Încălzirea cu laser este avantajoasă deoarece energia furnizată filmului poate fi controlată cu precizie; în plus, timpul scurt de încălzire decuplează conductivitatea termică a peliculei subțiri de substrat ^{[ Citație necesară ].}

Notă

^ ^A ^b ^c ^d ^și (EN) Sungtaek Y. Ju, Phonon Heat Transport in Silicon Nanostructures , in Applied Physics Letters, vol. 87, 2005, p. 153106, DOI : 10.1063 / 1.2089178 .
^ (EN) A Balandin, Thermal Properties of Low-Dimensional Semiconductor Structures (PDF) on ndl.ee.ucr.edu, 2000 (depus de 'url original 18 iunie 2010).
^ (EN) J. Hone, Llaguno MC; Nemes NM; Johnson AT; Fischer JE; Walters DA; Casavant MJ; Schmidt J.; Smalley RE, Proprietățile de transport electric și termic ale filmelor de nanotuburi de carbon cu perete unic aliniate magnetic , în Applied Physics Letters , vol. 77, nr. 5, 2000, pp. 666–668, DOI : 10.1063 / 1.127079 .
^ (EN) D. Nika, Pokatilov E.; Askerov A.; Balandin A., Conducerea termică Phonon în grafen: Rolul Umklapp și împrăștierea rugozității marginilor , în Physical Review B , vol. 79, 2009, p. 155413, DOI : 10.1103 / PhysRevB.79.155413 .
^ ^a ^b ( EN ) D. Li, Y. Wu; P. Kim; L. Shi; P. Yang; A. Majumdar, Conductivitatea termică a nanofirurilor individuale de siliciu , în Litere de fizică aplicată , vol. 83, nr. 14, 2003, pp. 2934-6, DOI : 10.1063 / 1.1616981 .
^ (EN) S. Ghosh, Calizo I.; Teweldebrhan D.; EP Pokatilov; Nika DL; Balandin AA; Bao W.; Miao F.; Lau CN,Conductivitate termică extrem de ridicată a grafenului: Perspective pentru aplicații de management termic în circuite nanoelectronice , în Litere de fizică aplicată , vol. 92, 2008, p. 151911, DOI : 10.1063 / 1.2907977 .
^ (EN) AA Balandin, Nanoscale thermal management , în Potențiale, IEEE, vol. 21, 2002, pp. 11-15, DOI : 10.1109 / 45.985321 .
^ ^a ^b ^c ( EN ) R. Chen, A. Hochbaum, P. Murphy, J. Moore, P. Yang, A. Majumdar, Conductanța termică a nanofirelor de siliciu subțire , în Phys. Rev. Lett. , Vol. 101, nr. 10, 2008, p. 105501, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.101.105501 , PMID 18851223 .
^ (EN) Eric Pop, Lecture 8 - Conductivity Thermal (PDF) pe poplab.ece.illinois.edu, 2009.
^ ^a ^b ^c ( EN ) N. Mingo, Calculul conductivității termice a nanofilului de Si folosind relații complete de dispersie a fononului , în Phys. Rev. B. , vol. 68, nr. 11, 2003, pp. 113308–12, DOI : 10.1103/PhysRevB.68.113308 .
^ ( EN ) Walter A. Harrison, Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond , Dover Publications , 1989, ISBN 0-486-66021-4 .
^ ( EN ) J. Callaway, Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperatures , in Phys. Rev. Lett. , vol. 113, n. 4, 1959, pp. 1046–51, DOI : 10.1103/PhysRev.113.1046 .
^ ( EN ) Eric Pop, Mann David; Wang Qian; Goodson Kenneth; Dai Hongjie, Thermal conductance of an individual single-wall carbon nanotube above room temperature , in Nano Letters , vol. 6, n. 1, 22 dicembre 2005, pp. 96–100, DOI : 10.1021/nl052145f , PMID 16402794 .
^ ( EN ) P. Kim, Shi L.; Majumdar A.; McEuen PL, Thermal transport measurements of individual multiwalled nanotubes , in Physical Review Letters , vol. 87, n. 21, 1º giugno 2001, pp. 215502–215506, DOI : 10.1103/PhysRevLett.87.215502 .
^ ( EN ) J. Hone, Llaguno MC; Nemes NM; Johnson AT; Fischer JE; Walters DA; Casavant MJ; Schmidt J.; Smalley RE;, Ballistic thermal and electrical conductance measurements on individual multiwall carbon nanotubes , in Applied Physics Letters , vol. 77, 2005, pp. 666–668, DOI : 10.1063/1.127079 .
^ ( EN ) E. Brown, Hao Ling; Gallop John C.; MacFarlane John C., Ballistic thermal and electrical conductance measurements on individual multiwall carbon nanotubes , in Applied Physics Letters , vol. 87, 2005, p. 023107, DOI : 10.1063/1.1993768 .
^ ( EN ) L. Rego, G. Kirczenow, Quantized thermal conductance of dielectric quantum wires , in Phys. Rev. Lett. , vol. 81, n. 1, 18 luglio 1998, pp. 232–235, DOI : 10.1103/PhysRevLett.81.232 .
^ ( EN ) K. Schwab, EA Henriksen; JM Worlock, ML Roukes, Measurement of the quantum of thermal conductance , in Letters to Nature , vol. 404, 2000, pp. 974–977, DOI : 10.1038/35010065 .
^ ( EN ) J. Heremans, C. Beetz, Thermal-conductivity and thermopower of vapor-grown graphite , in Phys. Rev. B. , vol. 32, n. 4, 1985, pp. 1981–1986, DOI : 10.1103/PhysRevB.32.1981 .
^ ( EN ) RE Peierls, Quantum Theory of Solids , Londra, Oxford University Press, 1955.
^ ( EN ) Savas Berber, Kwon Young-Kyun; Tománek David, Unusually high thermal conductivity of carbon nanotubes , in Physical Review Letters , vol. 84, n. 20, 23 febbraio 2000, pp. 4613–4616, DOI : 10.1103/PhysRevLett.84.4613 , PMID 10990753 .
^ ( EN ) R. Saito, T. Takeya, T. Kimura, G. Dresselhaus, MS Dresselhaus, Raman intensity of single-wall carbon nanotubes , in Phys. Rev. B. , vol. 57, 2008, pp. 4145–53, DOI : 10.1103/PhysRevB.57.4145 .
^ ( EN ) R. Saito, G. Dresselhaus, G, MS Dresselhaus, Properties of Carbon Nanotubes , Londra, Imperial College Press, 1998.
^ ( EN ) D. Sanchez-Portal, E. Artacho, JM Solar, A. Rubio, P. Ordejon, Ab initio structural, elastic, and vibrational properties of carbon nanotubes , in Phys. Rev. B. , vol. 59, n. 19, 1999, pp. 12678–12688, DOI : 10.1103/PhysRevB.59.12678 .
^ ^a ^b ( EN ) M. Asheghi, YK Leung, SS Wong, KE Goodson, Phonon-boundary scattering in thin silicon layers , in Applied Physics Letters , vol. 71, n. 13, 1997, pp. 1798–1800, DOI : 10.1063/1.119402 .
^ ( EN ) YS Ju, KE Goodson, Phonon scattering in silicon films with thickness of order 100nm , in Applied Physics Letters , vol. 74, n. 20, 1999, pp. 3005–3007, DOI : 10.1063/1.123994 .
^ ( EN ) G. Chen, M. Neagu, Conductivity and Heat Transfer in Superlattices , in Applied Physics Letters , vol. 71, 1999, pp. 2761–2763, DOI : 10.1063/1.120126 .
^ ( EN ) S. Lee, D. Cahill, R. Venkatasubramanian, Thermal Conductivity of Si-Ge Superlatices , in Applied Physics Letters , vol. 71, n. 22, 1997, pp. 2957–2959, DOI : 10.1063/1.118755 .
^ ( EN ) T. Yao, Thermal Peroperties of AlAs/GaAs Superlattices , in Applied Physics Letters , vol. 51, n. 22, 1987, pp. 1798–1800, DOI : 10.1063/1.98526 .
^ ^a ^b ^c ^d ( EN ) KE Goodson, S. Ju, Heat Conduction in Novel Electronic Films , in Annu. Rev. Mater: Sci , vol. 29, 1999, pp. 261–293, DOI :10.1146/annurev.matsci.29.1.261 .
^ ( EN ) BL Zink, R. Petri, F. Hellman, Thermal Conductivity and Specific Heat of Thin-Film Amorphous Silicon , in Phys. Rev. Lett. , vol. 96, n. 5, 2006, pp. 055902–6, DOI : 10.1103/PhysRevLett.96.055902 .

[Ju-1] A ^b ^c ^d ^și (EN) Sungtaek Y. Ju, Phonon Heat Transport in Silicon Nanostructures , in Applied Physics Letters, vol. 87, 2005, p. 153106, DOI : 10.1063 / 1.2089178 .

[Balandin2000-2] (EN) A Balandin, Thermal Properties of Low-Dimensional Semiconductor Structures (PDF) on ndl.ee.ucr.edu, 2000 (depus de 'url original 18 iunie 2010).

[3] (EN) J. Hone, Llaguno MC; Nemes NM; Johnson AT; Fischer JE; Walters DA; Casavant MJ; Schmidt J.; Smalley RE, Proprietățile de transport electric și termic ale filmelor de nanotuburi de carbon cu perete unic aliniate magnetic , în Applied Physics Letters , vol. 77, nr. 5, 2000, pp. 666–668, DOI : 10.1063 / 1.127079 .

[Nika2009-4] (EN) D. Nika, Pokatilov E.; Askerov A.; Balandin A., Conducerea termică Phonon în grafen: Rolul Umklapp și împrăștierea rugozității marginilor , în Physical Review B , vol. 79, 2009, p. 155413, DOI : 10.1103 / PhysRevB.79.155413 .

[Li-5] ( EN ) D. Li, Y. Wu; P. Kim; L. Shi; P. Yang; A. Majumdar, Conductivitatea termică a nanofirurilor individuale de siliciu , în Litere de fizică aplicată , vol. 83, nr. 14, 2003, pp. 2934-6, DOI : 10.1063 / 1.1616981 .

[Ghosh-6] (EN) S. Ghosh, Calizo I.; Teweldebrhan D.; EP Pokatilov; Nika DL; Balandin AA; Bao W.; Miao F.; Lau CN,Conductivitate termică extrem de ridicată a grafenului: Perspective pentru aplicații de management termic în circuite nanoelectronice , în Litere de fizică aplicată , vol. 92, 2008, p. 151911, DOI : 10.1063 / 1.2907977 .

[Balandin2002-7] (EN) AA Balandin, Nanoscale thermal management , în Potențiale, IEEE, vol. 21, 2002, pp. 11-15, DOI : 10.1109 / 45.985321 .

[RChen-8] ( EN ) R. Chen, A. Hochbaum, P. Murphy, J. Moore, P. Yang, A. Majumdar, Conductanța termică a nanofirelor de siliciu subțire , în Phys. Rev. Lett. , Vol. 101, nr. 10, 2008, p. 105501, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.101.105501 , PMID 18851223 .

[EP-9] (EN) Eric Pop, Lecture 8 - Conductivity Thermal (PDF) pe poplab.ece.illinois.edu, 2009.

[Mingo-10] ( EN ) N. Mingo, Calculul conductivității termice a nanofilului de Si folosind relații complete de dispersie a fononului , în Phys. Rev. B. , vol. 68, nr. 11, 2003, pp. 113308–12, DOI : 10.1103/PhysRevB.68.113308 .

[Harrison-11] ( EN ) Walter A. Harrison, Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond , Dover Publications , 1989, ISBN 0-486-66021-4 .

[Callaway-12] ( EN ) J. Callaway, Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperatures , in Phys. Rev. Lett. , vol. 113, n. 4, 1959, pp. 1046–51, DOI : 10.1103/PhysRev.113.1046 .

[Pop-13] ( EN ) Eric Pop, Mann David; Wang Qian; Goodson Kenneth; Dai Hongjie, Thermal conductance of an individual single-wall carbon nanotube above room temperature , in Nano Letters , vol. 6, n. 1, 22 dicembre 2005, pp. 96–100, DOI : 10.1021/nl052145f , PMID 16402794 .

[Kim-14] ( EN ) P. Kim, Shi L.; Majumdar A.; McEuen PL, Thermal transport measurements of individual multiwalled nanotubes , in Physical Review Letters , vol. 87, n. 21, 1º giugno 2001, pp. 215502–215506, DOI : 10.1103/PhysRevLett.87.215502 .

[15] ( EN ) J. Hone, Llaguno MC; Nemes NM; Johnson AT; Fischer JE; Walters DA; Casavant MJ; Schmidt J.; Smalley RE;, Ballistic thermal and electrical conductance measurements on individual multiwall carbon nanotubes , in Applied Physics Letters , vol. 77, 2005, pp. 666–668, DOI : 10.1063/1.127079 .

[Brown-16] ( EN ) E. Brown, Hao Ling; Gallop John C.; MacFarlane John C., Ballistic thermal and electrical conductance measurements on individual multiwall carbon nanotubes , in Applied Physics Letters , vol. 87, 2005, p. 023107, DOI : 10.1063/1.1993768 .

[Rego-17] ( EN ) L. Rego, G. Kirczenow, Quantized thermal conductance of dielectric quantum wires , in Phys. Rev. Lett. , vol. 81, n. 1, 18 luglio 1998, pp. 232–235, DOI : 10.1103/PhysRevLett.81.232 .

[Schwab-18] ( EN ) K. Schwab, EA Henriksen; JM Worlock, ML Roukes, Measurement of the quantum of thermal conductance , in Letters to Nature , vol. 404, 2000, pp. 974–977, DOI : 10.1038/35010065 .

[Heremans-19] ( EN ) J. Heremans, C. Beetz, Thermal-conductivity and thermopower of vapor-grown graphite , in Phys. Rev. B. , vol. 32, n. 4, 1985, pp. 1981–1986, DOI : 10.1103/PhysRevB.32.1981 .

[Peierls-20] ( EN ) RE Peierls, Quantum Theory of Solids , Londra, Oxford University Press, 1955.

[Berber-21] ( EN ) Savas Berber, Kwon Young-Kyun; Tománek David, Unusually high thermal conductivity of carbon nanotubes , in Physical Review Letters , vol. 84, n. 20, 23 febbraio 2000, pp. 4613–4616, DOI : 10.1103/PhysRevLett.84.4613 , PMID 10990753 .

[Saito08-22] ( EN ) R. Saito, T. Takeya, T. Kimura, G. Dresselhaus, MS Dresselhaus, Raman intensity of single-wall carbon nanotubes , in Phys. Rev. B. , vol. 57, 2008, pp. 4145–53, DOI : 10.1103/PhysRevB.57.4145 .

[Saito98-23] ( EN ) R. Saito, G. Dresselhaus, G, MS Dresselhaus, Properties of Carbon Nanotubes , Londra, Imperial College Press, 1998.

[Sanchez-24] ( EN ) D. Sanchez-Portal, E. Artacho, JM Solar, A. Rubio, P. Ordejon, Ab initio structural, elastic, and vibrational properties of carbon nanotubes , in Phys. Rev. B. , vol. 59, n. 19, 1999, pp. 12678–12688, DOI : 10.1103/PhysRevB.59.12678 .

[Asheghi-25] ( EN ) M. Asheghi, YK Leung, SS Wong, KE Goodson, Phonon-boundary scattering in thin silicon layers , in Applied Physics Letters , vol. 71, n. 13, 1997, pp. 1798–1800, DOI : 10.1063/1.119402 .

[Ju99-26] ( EN ) YS Ju, KE Goodson, Phonon scattering in silicon films with thickness of order 100nm , in Applied Physics Letters , vol. 74, n. 20, 1999, pp. 3005–3007, DOI : 10.1063/1.123994 .

[GChen-27] ( EN ) G. Chen, M. Neagu, Conductivity and Heat Transfer in Superlattices , in Applied Physics Letters , vol. 71, 1999, pp. 2761–2763, DOI : 10.1063/1.120126 .

[Lee-28] ( EN ) S. Lee, D. Cahill, R. Venkatasubramanian, Thermal Conductivity of Si-Ge Superlatices , in Applied Physics Letters , vol. 71, n. 22, 1997, pp. 2957–2959, DOI : 10.1063/1.118755 .

[Yao-29] ( EN ) T. Yao, Thermal Peroperties of AlAs/GaAs Superlattices , in Applied Physics Letters , vol. 51, n. 22, 1987, pp. 1798–1800, DOI : 10.1063/1.98526 .

[Goodson-30] ( EN ) KE Goodson, S. Ju, Heat Conduction in Novel Electronic Films , in Annu. Rev. Mater: Sci , vol. 29, 1999, pp. 261–293, DOI :10.1146/annurev.matsci.29.1.261 .

[Zink-31] ( EN ) BL Zink, R. Petri, F. Hellman, Thermal Conductivity and Specific Heat of Thin-Film Amorphous Silicon , in Phys. Rev. Lett. , vol. 96, n. 5, 2006, pp. 055902–6, DOI : 10.1103/PhysRevLett.96.055902 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8] a

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15],

[16]

[17]

[18] a

[19]

[20]

[21] a

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]