Seria Volterra

În matematică , dezvoltarea din seria Volterra este extinderea funcțională a unei dinamici funcționale , neliniare și invariante în timp, dezvoltată împreună cu teorema Volterra, de către matematicianul Vito Volterra .

Un sistem continu invariant în timp cu intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ și ieși $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ poate fi extins în seria Volterra ca:

y(t)=k_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }k_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})x(t-s_{1})x(t-s_{2})\cdots x(t-s_{n})ds_{1}ds_{2}\cdots ds_{n}

{\ displaystyle y (t) = k_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} k_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}) x (t-s_ {1}) x (t -s_ {2}) \ cdots x (t-s_ {n}) ds_ {1} ds_ {2} \ cdots ds_ {n}}

{\ displaystyle y (t) = k_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} k_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}) x (t-s_ {1}) x (t -s_ {2}) \ cdots x (t-s_ {n}) ds_ {1} ds_ {2} \ cdots ds_ {n}}

unde este $k_{n}$ ${\ displaystyle k_ {n}}$ $k_n$ se numește nucleul Volterra de ordinul n și poate fi văzut ca o generalizare a răspunsului la impuls .

Descriere

Teoria seriei Volterra poate presupune două perspective diferite: poate fi considerat un operator care mapează între două spații de funcții (reale sau complexe) sau poate fi considerat un funcțional de la un spațiu de funcții (real sau complex) la real sau numere complexe. Al doilea este mai răspândit, deoarece presupune invarianța temporală a sistemului.

Un sistem continuu și invariant în timp cu $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ ca intrare și $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ ca rezultat poate fi extins în seria Volterra ca:

y(t)=h_{0}+\sum _{n=1}^{N}{H_{n}x(t)}

{\ displaystyle y (t) = h_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {H_ {n} x (t)}}

{\ displaystyle y (t) = h_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} {H_ {n} x (t)}}

unde este:

H_{n}x(t)=\int _{a}^{b}\cdots \int _{a}^{b}{h_{n}(\tau _{1},.\,.\,,\tau _{n})\prod _{j=1}^{n}{x(t-\tau _{j})d\tau _{j}}}

{\ displaystyle H_ {n} x (t) = \ int _ {a} ^ {b} \ cdots \ int _ {a} ^ {b} {h_ {n} (\ tau _ {1} ,. \, . \ ,, \ tau _ {n}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} {x (t- \ tau _ {j}) d \ tau _ {j}}}}

{\ displaystyle H_ {n} x (t) = \ int _ {a} ^ {b} \ cdots \ int _ {a} ^ {b} {h_ {n} (\ tau _ {1} ,. \, . \ ,, \ tau _ {n}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} {x (t- \ tau _ {j}) d \ tau _ {j}}}}

cu $a,b\in R\cup \{-\infty ,+\infty \}$ ${\ displaystyle a, b \ in R \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle a, b \ in R \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ Și $N\in \{0,1,2,...\}\cup \{+\infty \}$ ${\ displaystyle N \ in \ {0,1,2, ... \} \ cup \ {+ \ infty \}}$ ${\ displaystyle N \ in \ {0,1,2, ... \} \ cup \ {+ \ infty \}}$ .

Funcții $h_{n}(\tau _{1},.\,.\,,\tau _{n})$ ${\ displaystyle h_ {n} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {n})}$ ${\ displaystyle h_ {n} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {n})}$ , $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h _ {{0}}$ ele sunt numite nuclee integrale de volterra de ordinul n . Poate fi văzut ca un răspuns de impuls de ordin superior al sistemului.

Dacă N este finit, se spune că seria este trunchiată . De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și N sunt finite, atunci seria se numește dublu-finită .

Uneori termenul de ordine n al seriei este împărțit la n! , o convenție care este utilă atunci când se ia ieșirea unui sistem Volterra ca intrare a unui al doilea sistem Volterra.

Timp discret

Un sistem discret și invariant în timp cu $x(n)$ ${\ displaystyle x (n)}$ $x (n)$ ca intrare și $y(n)$ ${\ displaystyle y (n)}$ ${\ displaystyle y (n)}$ ca ieșire poate fi extins în seria Volterra ca:

y(n)=h_{0}+\sum _{p=1}^{P}{H_{p}x(n)}

{\ displaystyle y (n) = h_ {0} + \ sum _ {p = 1} ^ {P} {H_ {p} x (n)}}

{\ displaystyle y (n) = h_ {0} + \ sum _ {p = 1} ^ {P} {H_ {p} x (n)}}

unde este:

H_{p}x(n)=\sum _{\tau _{1}=a}^{b}\cdots \sum _{\tau _{p}=a}^{b}{h_{p}(\tau _{1},.\,.\,,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}{x(n-\tau _{j})}}

{\ displaystyle H_ {p} x (n) = \ sum _ {\ tau _ {1} = a} ^ {b} \ cdots \ sum _ {\ tau _ {p} = a} ^ {b} {h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p}) \ prod _ {j = 1} ^ {p} {x (n- \ tau _ {j})} }}

{\ displaystyle H_ {p} x (n) = \ sum _ {\ tau _ {1} = a} ^ {b} \ cdots \ sum _ {\ tau _ {p} = a} ^ {b} {h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p}) \ prod _ {j = 1} ^ {p} {x (n- \ tau _ {j})} }}

cu $a,b\in Z\cup \{-\infty ,+\infty \}$ ${\ displaystyle a, b \ in Z \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle a, b \ in Z \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ Și $P\in N\cup \{+\infty \}$ ${\ displaystyle P \ în N \ cup \ {+ \ infty \}}$ ${\ displaystyle P \ în N \ cup \ {+ \ infty \}}$ . Funcții $h_{p}(\tau _{1},.\,.\,,\tau _{p})$ ${\ displaystyle h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p})}$ ${\ displaystyle h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p})}$ Și $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h _ {{0}}$ sunt numite nuclee din Volterra.

De sine $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este terminată seria se numește trunchiată . Dacă a, b și P sunt finite, atunci seria se numește dublu-finită . De sine $a\geq 0$ ${\ displaystyle a \ geq 0}$ ${\ displaystyle a \ geq 0}$ operatorul este cauzal .

Un nucleu poate fi luat în considerare fără pierderea generalității $h_{p}(\tau _{1},.\,.\,,\tau _{p})$ ${\ displaystyle h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p})}$ ${\ displaystyle h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p})}$ simetric, de fapt pentru comutivitatea înmulțirii este întotdeauna posibil să simetrizi nucleul fără a schimba $H_{p}x(n)$ ${\ displaystyle H_ {p} x (n)}$ ${\ displaystyle H_ {p} x (n)}$ . Astfel, pentru un sistem cauzal cu un nucleu simetric avem:

H_{p}x(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{M}\sum _{\tau _{2}=\tau _{1}}^{M}\cdots \sum _{\tau _{p}=\tau _{p-1}}^{M}{h_{p}(\tau _{1},.\,.\,,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}{x(n-\tau _{j})}}

{\ displaystyle H_ {p} x (n) = \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {M} \ sum _ {\ tau _ {2} = \ tau _ {1}} ^ {M } \ cdots \ sum _ {\ tau _ {p} = \ tau _ {p-1}} ^ {M} {h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p}) \ prod _ {j = 1} ^ {p} {x (n- \ tau _ {j})}}}

{\ displaystyle H_ {p} x (n) = \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {M} \ sum _ {\ tau _ {2} = \ tau _ {1}} ^ {M } \ cdots \ sum _ {\ tau _ {p} = \ tau _ {p-1}} ^ {M} {h_ {p} (\ tau _ {1} ,. \ ,. \ ,, \ tau _ {p}) \ prod _ {j = 1} ^ {p} {x (n- \ tau _ {j})}}}

Metode de estimare a nucleilor din Volterra

Estimarea individuală a coeficienților Volterra este o operație complicată, deoarece funcțiile de bază ale seriei Volterra (adică $x^{k},k=1,\dots ,N)$ ${\ displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ dots, N)}$ ${\ displaystyle x ^ {k}, k = 1, \ dots, N)}$ sunt inruditi. Aceasta implică problema soluției simultane a unui set de ecuații integrale pentru coeficienți. Din acest motiv, estimarea coeficienților Volterra este în general confruntată prin estimarea coeficienților unei serii ortogonalizate, cum ar fi seria Wiener , și apoi recalcularea coeficienților seriei originale Volterra. Alte metode frecvent utilizate sunt metoda de corelație încrucișată, algoritmul ortogonal exact, regresia liniară și eșantionarea diferențială.

Aplicații

Este folosit ca model pentru comportamentul neliniar analog seriei Taylor , de la care diferă prin capacitatea sa de a capta efectul de memorie. De fapt, seria Taylor aproximează răspunsul unui sistem neliniar pentru o intrare dată la un moment fix de timp; în timp ce seria Volterra aproximează răspunsul unui sistem neliniar care depinde de întreaga durată a intrării. Prin urmare, poate fi considerată o generalizare a cazului neliniar al operatorului de convoluție .

Dezvoltarea în serie a Volterra a fost aplicată în domeniile medicinei (în ingineria biomedicală), biologia (în neuroștiințe), ingineria electronică / de telecomunicații (pentru modelarea distorsiunilor de intermodulare ) și problemele de identificare . Caracteristica sa fundamentală constă în generalitatea sa: tocmai datorită capacității sale de a capta efectul memoriei și neliniarității, este capabil să reprezinte o gamă largă de sisteme.

Bibliografie

( EN ) Barrett JF: Bibliografie a seriei Volterra, expansiuni funcționale Hermite și subiecte conexe . Departamentul Electr. Engrg, Univ.Tech. Eindhoven, NL 1977, raportul TH 77-E-71. (Lista cronologică a primelor lucrări până în 1977) URL: http://alexandria.tue.nl/extra1/erap/publichtml/7704263.pdf
( EN ) Bussgang, JJ; Ehrman, L.; Graham, JW: Analiza sistemelor neliniare cu intrări multiple, Proc. IEEE, vol. 62, nr.8, pp. 1088–1119, august 1974
( EN ) Giannakis GB & Serpendin E: O bibliografie despre identificarea neliniară a sistemului. Prelucrarea semnalului, 81 2001 533-580. (Listare alfabetică până în 2001) www.elsevier.nl/locate/sigpro
(EN) Korenberg MJ Hunter IW: Identificarea biologică a sistemelor neliniare: Volterra Kernel Approaches, Annals Biomedical Engineering (1996), Volumul 24, Numărul 2.
( EN ) Kuo YL: Analiza domeniului de frecvență a rețelelor slab neliniare , IEEE Trans. Circuite & Systems, vol. CS-11 (4) aug 1977; vol.CS-11 (5) Oct 1977 2–6.
( EN ) Rugh WJ: Teoria sistemului neliniar: abordarea Volterra - Wiener. Baltimore 1981 (Johns Hopkins Univ Press) http://rfic.eecs.berkeley.edu/~niknejad/ee242/pdf/volterra_book.pdf
(EN) Schetzen M: The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems, New York: Wiley, 1980.

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) S. Boyd, LO Chua, CA Desoer - Fundamente analitice ale Seriei Volterra ( PDF ), pe web.stanford.edu .

Portal de inginerie

Portalul de matematică