Similitudine în planul complex

Asemănarea este definită în planul complex al relației $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ număr real diferit de zero, compoziția unei izometrii (a se vedea transformarea geometrică a planului ) a planului complex și a unei omotietăți în planul relației complexe $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Similele din planul complex pot fi împărțite în simile directe și similare inverse.

Asemănare directă

Este transformarea dată de

{\begin{matrix}\Sigma :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=az+b\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ Sigma: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = az + b \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ Sigma: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = az + b \ end {matrix}}}

cu $|a|=k$ ${\ displaystyle | a | = k}$ ${\ displaystyle | a | = k}$ Și $a,b\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ .

Proprietate

Este notat ca:

de sine $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ $a = 1$ Și $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ , transformarea este identitate $z'=z$ ${\ displaystyle z '= z}$ ${\ displaystyle z '= z}$ și toate punctele planului complex sunt unite (vezi transformarea geometrică a planului );
de sine $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ $a = 1$ Și $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ , transformarea este o traducere $z'=z+b$ ${\ displaystyle z '= z + b}$ ${\ displaystyle z '= z + b}$ , prin urmare, niciun punct nu este unit;
de sine $a\neq 1$ ${\ displaystyle a \ neq 1}$ ${\ displaystyle a \ neq 1}$ , transformarea are un singur punct unit $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ corespunzător numărului complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ soluția ecuației $w=aw+b$ ${\ displaystyle w = aw + b}$ ${\ displaystyle w = aw + b}$ , acesta este

w={\frac {b}{1-a}}.

{\ displaystyle w = {\ frac {b} {1-a}}.}

{\ displaystyle w = {\ frac {b} {1-a}}.}

Exemplu

Studiul transformării $z'=2(1-i)z-3i$ ${\ displaystyle z '= 2 (1-i) z-3i}$ ${\ displaystyle z '= 2 (1-i) z-3i}$ .

Aceasta este o asemănare directă legată de parametrii:

a=2(1-i)

{\ displaystyle a = 2 (1-i)}

{\ displaystyle a = 2 (1-i)}

Și

\,b=-3i.

{\ displaystyle \, b = -3i.}

{\ displaystyle \, b = -3i.}

Numărul complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ corespunzător punctului unit se obține prin rezolvarea ecuației $w=2(1-i)w-3i$ ${\ displaystyle w = 2 (1-i) w-3i}$ ${\ displaystyle w = 2 (1-i) w-3i}$ .

Efectuarea calculelor atunci

w={\frac {-3i}{1-2\left(1-i\right)}}={\frac {3i}{1-2i}}={\frac {3i\left(1+2i\right)}{5}}=-{\frac {6}{5}}+{\frac {3}{5}}i.

{\ displaystyle w = {\ frac {-3i} {1-2 \ left (1-i \ right)}} = {\ frac {3i} {1-2i}} = {\ frac {3i \ left (1 + 2i \ right)} {5}} = - {\ frac {6} {5}} + {\ frac {3} {5}} i.}

{\ displaystyle w = {\ frac {-3i} {1-2 \ left (1-i \ right)}} = {\ frac {3i} {1-2i}} = {\ frac {3i \ left (1 + 2i \ right)} {5}} = - {\ frac {6} {5}} + {\ frac {3} {5}} i.}

Similitudine indirectă

Este transformarea dată de

{\begin{matrix}\Sigma :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=a{\overline {z}}+b\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ Sigma: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = a {\ overline {z}} + b \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ Sigma: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = a {\ overline {z}} + b \ end {matrix}}}

cu $|a|=k$ ${\ displaystyle | a | = k}$ ${\ displaystyle | a | = k}$ Și $a,b\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică