Sistem de funcții iterate

Exemplu de construcție iterată a unui fractal

Un sistem de funcții iterat (adesea abreviat la IFS din sistemul englezesc de funcții iterate ) este un set de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ transformări afine contractive (adică acționând la scara obiectelor tratate. ^[1] ^[2] Deși au mai mult de-a face cu teoria mulțimilor decât cu geometria fractală ^{[3], ele} sunt mai des utilizate și citate în acest ultim câmp .

Definiție formală

În mod formal, un sistem funcțional iterat este un set finit de aplicație de contracție ${\cal {S}}$ ${\ displaystyle {\ cal {S}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {S}}}$ pe un spațiu metric complet . ^[4]

În formulă:

$\{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i}: X \ to X \ mid i = 1,2, \ dots, N \}, \ N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i}: X \ to X \ mid i = 1,2, \ dots, N \}, \ N \ in \ mathbb {N}}$

este un sistem iterat de funcții dacă fiecare $f_{i}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ este o contracție pe spațiul metric complet $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Tipuri

În mod normal, se utilizează două tipuri de algoritmi, versiunea deterministă sau versiunea aleatorie. ^[2]

Algoritmul determinist constă în luarea unui set de puncte, care pot fi orice figură geometrică, și aplicarea fiecăruia dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ transformări afine ale sistemului, pentru care obținem $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ serie de puncte transformate. Fiecăreia dintre ele le aplicăm din nou fiecare funcție, obținând $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ serie nouă de puncte. Continuăm în acest fel, iterând peste rezultate, până când unirea tuturor seturilor obținute în ultima iterație este suficient de apropiată de figura care constituie atractivul sistemului. Vom ajunge întotdeauna la acest atractiv, indiferent de setul inițial de puncte selectate. Fiecare IFS are un atractiv caracteristic, care va fi un fractal auto-similar, deoarece este construit pe copii din ce în ce mai mici ale sale. În mod normal, nu este nevoie de multe iterații pentru a obține acest ansamblu fractal. ^[2]

Algoritmul aleatoriu este similar, dar în loc să aplicăm funcțiile unui set de puncte, le aplicăm la un singur punct din nou și din nou, trasând rezultatul de fiecare dată. Atribuim o valoare de probabilitate fiecărei transformări de sistem, luând în considerare că suma totală a valorilor de probabilitate a funcțiilor trebuie să fie 1. În fiecare iterație a algoritmului, selectăm una dintre transformările cu probabilitate $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Pentru a face acest lucru este suficient să se obțină o valoare aleatorie între 0 și 1 și să se adauge probabilitățile fiecărei funcții pe rând până la obținerea unui rezultat mai mare decât numărul aleator obținut. Aceasta va fi funcția selectată. Primele puncte ale seriei sunt eliminate. Deoarece sunt de obicei foarte departe de atractiv, restul este tras până se obține proiectarea fractală corespunzătoare, care apare de obicei după 1000 până la 5000 de iterații. ^[2]

Notă

^ Arhitecturi de complexitate: geometrie fractală între artă, arhitectură și teritoriu - Nicoletta Sala, Gabriele Cappellato, editura FrancoAngeli, 2004
^ ^a ^b ^c ^d ( EN ) Desenarea fractalelor cu sisteme de funcții iterate (IFS) , pe software-tecnico-libre.es . Adus la 22 septembrie 2018 .
^ George Winston Zobrist și Chaman Sabharwal, Progress in Computer Graphics: Volume 1 , Intellect Books, 1992, p. 135, ISBN 978-0-89391-651-0 . Adus pe 7 mai 2017 .
^ Michael Barnsley (1988). Fractals Everywhere , p.82. Academic Press, Inc. ISBN 9780120790623 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre sistemul de funcții iterate

Controlul autorității	GND ( DE ) 4343626-2

[1] Arhitecturi de complexitate: geometrie fractală între artă, arhitectură și teritoriu - Nicoletta Sala, Gabriele Cappellato, editura FrancoAngeli, 2004

[:0-2] ( EN ) Desenarea fractalelor cu sisteme de funcții iterate (IFS) , pe software-tecnico-libre.es . Adus la 22 septembrie 2018 .

[picg-3] George Winston Zobrist și Chaman Sabharwal, Progress in Computer Graphics: Volume 1 , Intellect Books, 1992, p. 135, ISBN 978-0-89391-651-0 . Adus pe 7 mai 2017 .

[4] Michael Barnsley (1988). Fractals Everywhere , p.82. Academic Press, Inc. ISBN 9780120790623 .

[1]

[2]

[3], ele

[4]