Pistrui

Exemplu de cum arată o imagine peticită.

În fizică se numește speckle (speckle literal) figura punctată care se obține atunci când o undă coerentă este trecută printr-un mediu dezordonat. Motivul acestei figuri este că atunci când o undă efectuează un eveniment de împrăștiere elastică, nu își pierde proprietățile de coerență, dar efectuează un salt de fază aleatoriu. Prin urmare, pe suprafața de ieșire va exista suprapunerea multor unde care sunt coerente între ele (și, prin urmare, capabile să producă efecte de interferență ), dar cu o fază aleatorie; de aceea, pentru unele direcții, va fi produs un efect de interferență constructiv și pentru altele un efect de interferență distructiv, creând astfel o figură făcută din puncte luminoase și întunecate.

Statisticile speckle

Presupunând că fiecare pistrui care compune pistrui se datorează suma de mai multe valuri de fiecare amplitudine în (distribuit cu media și varianța terminat) și faza $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ repartizate uniform între $-\pi$ ${\ displaystyle - \ pi}$ ${\ displaystyle - \ pi}$ Și $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ avem că, prin teorema limitei centrale , partea reală și partea imaginară a semnalului general

$r={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}a_{k}\cos \phi _{k}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {k} a_ {k} \ cos \ phi _ {k}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {k} a_ {k} \ cos \ phi _ {k}}$

$i={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}a_{k}\sin \phi _{k}$ ${\ displaystyle i = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {k} a_ {k} \ sin \ phi _ {k}}$ ${\ displaystyle i = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {k} a_ {k} \ sin \ phi _ {k}}$

sunt distribuite ca gaussieni :

$P_{r,i}={\frac {1}{2\pi \sigma }}e^{-{\frac {r^{2}+i^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\ displaystyle P_ {r, i} = {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma}} e ^ {- {\ frac {r ^ {2} + i ^ {2}} {2 \ sigma ^ { 2}}}}}$ ${\ displaystyle P_ {r, i} = {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma}} e ^ {- {\ frac {r ^ {2} + i ^ {2}} {2 \ sigma ^ { 2}}}}}$ .

Pentru a obține distribuirea unei și a $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în acest moment este suficient să modificați variabilele

$a={\sqrt {r^{2}+i^{2}}}$ ${\ displaystyle a = {\ sqrt {r ^ {2} + i ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle a = {\ sqrt {r ^ {2} + i ^ {2}}}}$

$\phi =\arctan {\frac {i}{r}}$ ${\ displaystyle \ phi = \ arctan {\ frac {i} {r}}}$ ${\ displaystyle \ phi = \ arctan {\ frac {i} {r}}}$

ceea ce dă un determinant al matricei iacobiene egal cu

$\left\|J\right\|={\begin{Vmatrix}{\frac {\partial r}{\partial a}}&{\frac {\partial r}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial i}{\partial a}}&{\frac {\partial i}{\partial \phi }}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}\cos \phi &-a\sin \phi \\\sin \phi &a\cos \phi \end{Vmatrix}}=a$ ${\ displaystyle \ left \ | J \ right \ | = {\ begin {Vmatrix} {\ frac {\ partial r} {\ partial a}} și {\ frac {\ partial r} {\ partial \ phi}} \ \ {\ frac {\ partial i} {\ partial a}} și {\ frac {\ partial i} {\ partial \ phi}} \ end {Vmatrix}} = {\ begin {Vmatrix} \ cos \ phi & - a \ sin \ phi \\\ sin \ phi & a \ cos \ phi \ end {Vmatrix}} = a}$ ${\ displaystyle \ left \ | J \ right \ | = {\ begin {Vmatrix} {\ frac {\ partial r} {\ partial a}} și {\ frac {\ partial r} {\ partial \ phi}} \ \ {\ frac {\ partial i} {\ partial a}} și {\ frac {\ partial i} {\ partial \ phi}} \ end {Vmatrix}} = {\ begin {Vmatrix} \ cos \ phi & - a \ sin \ phi \\\ sin \ phi & a \ cos \ phi \ end {Vmatrix}} = a}$ .

Deci avem

$P_{a,\phi }={\frac {a}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\ displaystyle P_ {a, \ phi} = {\ frac {a} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2 }}}}}$ ${\ displaystyle P_ {a, \ phi} = {\ frac {a} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2 }}}}}$

Și

$P_{a}=\int _{-\pi }^{\pi }P_{a,\phi }d\phi ={\frac {a}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\ displaystyle P_ {a} = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} P_ {a, \ phi} d \ phi = {\ frac {a} {\ sigma ^ {2}}} e ^ { - {\ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle P_ {a} = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} P_ {a, \ phi} d \ phi = {\ frac {a} {\ sigma ^ {2}}} e ^ { - {\ frac {a ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$