Distribuția Rayleigh

Distribuția Rayleigh
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\sigma >0\$ ${\ displaystyle \ sigma> 0 \}$ ${\ displaystyle \ sigma> 0 \}$
A sustine	$\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$
Funcția de densitate	${\frac {z}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z} {\ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z} {\ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$
Funcția de distribuție	$1-e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\ displaystyle 1-e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle 1-e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$
Valorea estimata	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ ${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$
Median	$\sigma {\sqrt {\log(4)}}$ ${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ log (4)}}}$ ${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ log (4)}}}$
Modă	$\sigma \$ ${\ displaystyle \ sigma \}$ ${\ displaystyle \ sigma \}$
Varianța	$(2-{\frac {\pi }{2}})\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle (2 - {\ frac {\ pi} {2}}) \ sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle (2 - {\ frac {\ pi} {2}}) \ sigma ^ {2}}$
Indicele de asimetrie	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0,631$ ${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {\ pi}} (\ pi -3)} {(4- \ pi) ^ {3/2}}} \ approx 0,631}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {\ pi}} (\ pi -3)} {(4- \ pi) ^ {3/2}}} \ approx 0,631}$
Curios	$-2{\frac {3\pi ^{2}-12\pi +8}{(4-\pi )^{2}}}\approx -0,245$ ${\ displaystyle -2 {\ frac {3 \ pi ^ {2} -12 \ pi +8} {(4- \ pi) ^ {2}}} \ approx -0.245}$ ${\ displaystyle -2 {\ frac {3 \ pi ^ {2} -12 \ pi +8} {(4- \ pi) ^ {2}}} \ approx -0.245}$
Entropie	$1+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}\gamma$ ${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ gamma}$ ${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} \ log {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ gamma}$ cu $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ constanta Euler-Mascheroni
Funcție generatoare de momente	$1+{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}{\Big (}{\text{erf}}{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}+1{\Big )}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {\ tfrac {\ pi \ sigma ^ {2}} {2}}} te ^ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}} {\ Big (} {\ text {erf}} {\ big (} {\ sqrt {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}} t {\ big)} + 1 {\ Big)}}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {\ tfrac {\ pi \ sigma ^ {2}} {2}}} te ^ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}} {\ Big (} {\ text {erf}} {\ big (} {\ sqrt {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}} t {\ big)} + 1 {\ Big)}}$ cu erf funcția de eroare
Funcția caracteristică	$1-{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}{\Big (}w{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}-i{\Big )}$ ${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {\ tfrac {\ pi \ sigma ^ {2}} {2}}} te ^ {- {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}} } {\ Big (} w {\ big (} {\ sqrt {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}} t {\ big)} - i {\ Big)}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {\ tfrac {\ pi \ sigma ^ {2}} {2}}} te ^ {- {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}} } {\ Big (} w {\ big (} {\ sqrt {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}} t {\ big)} - i {\ Big)}}$ cu w funcția de eroare complexă
Manual

În teoria probabilității, distribuția Rayleigh este o distribuție a probabilității care descrie distanța de la originea unui punct $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ în planul euclidian al cărui coordonate sunt independente și ambele urmează distribuția normală centrată .

Este numit după Lord Rayleigh .

Definiție

Distribuția parametrului Rayleigh $\sigma ^{2}>0$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}> 0}$ descrie variabila aleatorie $Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ ${\ displaystyle Z = {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle Z = {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$ , unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt variabile aleatoare independente, ambele având distribuție normală ${\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})}$ .

Funcția sa de densitate a probabilității este

f(z)={\frac {z}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z} {\ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z} {\ sigma ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

.

Acest lucru poate fi obținut direct din densitatea de probabilitate a distribuției normale, $\textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ , exploatând izotropia vectorului $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ :

f(z)=\int _{x^{2}+y^{2}=z^{2}}\phi (x)\phi (y)d\mu =2\pi z{\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}

{\ displaystyle f (z) = \ int _ {x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}} \ phi (x) \ phi (y) d \ mu = 2 \ pi z {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} și ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

{\ displaystyle f (z) = \ int _ {x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}} \ phi (x) \ phi (y) d \ mu = 2 \ pi z {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} și ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

.

Funcția sa de distribuție este

F(z)=1-e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}

{\ displaystyle F (z) = 1-e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

{\ displaystyle F (z) = 1-e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}

.

Variabila aleatorie $kZ={\sqrt {(kX)^{2}+(kY)^{2}}}$ ${\ displaystyle kZ = {\ sqrt {(kX) ^ {2} + (kY) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle kZ = {\ sqrt {(kX) ^ {2} + (kY) ^ {2}}}}$ urmează parametrul distribuția Rayleigh $k^{2}\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle k ^ {2} \ sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} \ sigma ^ {2}}$ .

Caracteristici

Variabila aleatorie $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ cu parametru distribuție Rayleigh $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ are

momente simple

\mu _{n}=E[Z^{n}]=(2\sigma ^{2})^{\frac {n}{2}}\Gamma (1+{\tfrac {n}{2}})

{\ displaystyle \ mu _ {n} = E [Z ^ {n}] = (2 \ sigma ^ {2}) ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma (1 + {\ tfrac {n} {2}})}

{\ displaystyle \ mu _ {n} = E [Z ^ {n}] = (2 \ sigma ^ {2}) ^ {\ frac {n} {2}} \ Gamma (1 + {\ tfrac {n} {2}})}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este funcția Gamma , cu $\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)={\tfrac {n}{2}}!$ ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {n} {2}} + 1) = {\ tfrac {n} {2}}!}$ ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {n} {2}} + 1) = {\ tfrac {n} {2}}!}$ de sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este chiar.

În special, acestea sunt obținute

speranță matematică

E[X]={\sqrt {{\tfrac {\pi }{2}}\sigma ^{2}}}

{\ displaystyle E [X] = {\ sqrt {{\ tfrac {\ pi} {2}} \ sigma ^ {2}}}}

{\ displaystyle E [X] = {\ sqrt {{\ tfrac {\ pi} {2}} \ sigma ^ {2}}}}

;

varianța

{\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}=2\sigma ^{2}-{\tfrac {\pi }{2}}\sigma ^{2}={\tfrac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = E [X ^ {2}] - E [X] ^ {2} = 2 \ sigma ^ {2} - {\ tfrac {\ pi} {2} } \ sigma ^ {2} = {\ tfrac {4- \ pi} {2}} \ sigma ^ {2}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = E [X ^ {2}] - E [X] ^ {2} = 2 \ sigma ^ {2} - {\ tfrac {\ pi} {2} } \ sigma ^ {2} = {\ tfrac {4- \ pi} {2}} \ sigma ^ {2}}

;

indicii de asimetrie și kurtoză

\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}{\pi -3}}{(4-\pi )^{\frac {3}{2}}}}\approx 0,631

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {2 {\ sqrt {\ pi}} {\ pi -3}} {(4- \ pi) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ aproximativ 0,631}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {2 {\ sqrt {\ pi}} {\ pi -3}} {(4- \ pi) ^ {\ frac {3} {2}}}} \ aproximativ 0,631}

Și

\gamma _{2}=-2{\frac {3\pi ^{2}-12\pi +8}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0,245

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = - 2 {\ frac {3 \ pi ^ {2} -12 \ pi +8} {(4- \ pi) ^ {2}}} \ approx 0.245}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = - 2 {\ frac {3 \ pi ^ {2} -12 \ pi +8} {(4- \ pi) ^ {2}}} \ approx 0.245}

.

Cuantilele $q_{\alpha }$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ de ordine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Sunt

q_{\alpha }={\sqrt {2\sigma ^{2}\log {\frac {1}{1-\alpha }}}}

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = {\ sqrt {2 \ sigma ^ {2} \ log {\ frac {1} {1- \ alpha}}}}

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = {\ sqrt {2 \ sigma ^ {2} \ log {\ frac {1} {1- \ alpha}}}}

;

în special

mediana este ${\sqrt {2\sigma ^{2}\log 2}}={\sqrt {\sigma ^{2}\log 4}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ sigma ^ {2} \ log 2}} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} \ log 4}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ sigma ^ {2} \ log 2}} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} \ log 4}}}$ .

Statistici

Conform metodei probabilității maxime, estimatorul parametrului $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile aleatoare independente cu aceeași distribuție Rayleigh este

S^{2}={\frac {X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}}{2n}}

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ frac {X_ {1} ^ {2} + ... + X_ {n} ^ {2}} {2n}}}

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ frac {X_ {1} ^ {2} + ... + X_ {n} ^ {2}} {2n}}}

.

Alte distribuții

De sine $Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ ${\ displaystyle Z = {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle Z = {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$ urmează parametrul distribuția Rayleigh $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ asa de $(Z/\sigma )^{2}$ ${\ displaystyle (Z / \ sigma) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (Z / \ sigma) ^ {2}}$ urmează distribuția chi-pătrat $\chi ^{2}(2)$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} (2)}$ $\ chi ^ {2} (2)$ , aceasta este distribuția exponențială ${\mathcal {E}}({\tfrac {1}{2}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ({\ tfrac {1} {2}})}$ ${\ mathcal {E}} ({\ tfrac {1} {2}})$ .

Distribuția Maxwell-Boltzmann extinde distribuția Rayleigh la trei dimensiuni, descriind distanța ${\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2}}}}$ de la originea unui vector $(X,Y,Z)$ ${\ displaystyle (X, Y, Z)}$ ${\ displaystyle (X, Y, Z)}$ în spațiul euclidian tridimensional, ale cărui coordonate sunt independente și urmează aceeași lege normală centrată.

Distribuția orezului, pe de altă parte, generalizează poziția punctului $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ , luând $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ nu centrat.

Distribuția Weibull este, de asemenea, o generalizare a distribuției Rayleigh, oferind o interpolare între distribuția exponențială și distribuția Rayleigh.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Rayleigh Distribution

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică