Distribuție Weibull

Distribuție Weibull
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\lambda >0\$ ${\ displaystyle \ lambda> 0 \}$ $\ lambda> 0 \$ $k>0\$ ${\ displaystyle k> 0 \}$ $k> 0 \$
A sustine	$\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$
Funcția de densitate	${\tfrac {k}{\lambda ^{k}}}x^{k-1}e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}}$
Funcția de distribuție	$1-e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}$ ${\ displaystyle 1-e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}}$ ${\ displaystyle 1-e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}}$
Valorea estimata	${\frac {\lambda }{k}}\Gamma \left({\tfrac {1}{k}}\right)\$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {k}} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {k}} \ right) \}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {k}} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {k}} \ right) \}$
Median	$\lambda (\log 2)^{\tfrac {1}{k}}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ log 2) ^ {\ tfrac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ log 2) ^ {\ tfrac {1} {k}}}$
Modă	$\lambda \left(1-{\tfrac {1}{k}}\right)^{\tfrac {1}{k}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ left (1 - {\ tfrac {1} {k}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ left (1 - {\ tfrac {1} {k}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {k}}}$ pentru $k\geqslant 1$ ${\ displaystyle k \ geqslant 1}$ ${\ displaystyle k \ geqslant 1}$ pentru $k\leqslant 1$ ${\ displaystyle k \ leqslant 1}$ ${\ displaystyle k \ leqslant 1}$
Varianța	${\frac {\lambda ^{2}}{k^{2}}}{\big [}2k\Gamma ({\tfrac {2}{k}})-\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{k}}){\big ]}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {2}} {k ^ {2}}} {\ big [} 2k \ Gamma ({\ tfrac {2} {k}}) - \ Gamma ^ {2} ( {\ tfrac {1} {k}}) {\ big]}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {2}} {k ^ {2}}} {\ big [} 2k \ Gamma ({\ tfrac {2} {k}}) - \ Gamma ^ {2} ( {\ tfrac {1} {k}}) {\ big]}}$
Entropie	$\left(1-{\tfrac {1}{k}}\right)\gamma +\log {\tfrac {\lambda }{k}}+1$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ tfrac {1} {k}} \ right) \ gamma + \ log {\ tfrac {\ lambda} {k}} + 1}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ tfrac {1} {k}} \ right) \ gamma + \ log {\ tfrac {\ lambda} {k}} + 1}$ (cu $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ constanta Euler-Mascheroni )
Manual

În teoria probabilității, distribuția Weibull este o distribuție continuă a probabilității definită pe numere reale pozitive și descrisă de parametri $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ (parametru de scară sau viață caracteristică) e $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ (parametru de formă).

Este numit după matematicianul suedez Waloddi Weibull care a descris-o în 1951 . ^[1] Distribuția fusese însă tratată deja de matematicianul francez Maurice Fréchet în 1927 . ^[2]

Distribuția oferă o interpolare între distribuția exponențială (pentru $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ ), distribuția Rayleigh (pentru $k=2$ ${\ displaystyle k = 2}$ $k = 2$ ).

Este folosit pentru a descrie sistemele cu o rată de eșec variabilă în timp, ca o extensie a distribuției exponențiale care prezice rate de eșec constante în timp.

Definiție

Distribuția parametrilor Weibull $\lambda >0$ ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ $\ lambda> 0$ Și $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ este definit pe reali pozitivi cu funcție de distribuție

F(x)=1-e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}

{\ displaystyle F (x) = 1-e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}}

{\ displaystyle F (x) = 1-e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}}

,

deci funcția densității probabilității

f(x)={\tfrac {k}{\lambda ^{k}}}x^{k-1}e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k }}}

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k }}}

.

Caracteristici

Momentele simple ale distribuției parametrilor Weibull $(\lambda ,k)$ ${\ displaystyle (\ lambda, k)}$ ${\ displaystyle (\ lambda, k)}$ poate fi obținut cu înlocuire $t=({\tfrac {x}{\lambda }})^{k}$ ${\ displaystyle t = ({\ tfrac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}$ ${\ displaystyle t = ({\ tfrac {x} {\ lambda}}) ^ {k}}$ , $dt={\frac {k}{\lambda ^{k}}}x^{k-1}dx$ ${\ displaystyle dt = {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} dx}$ ${\ displaystyle dt = {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} dx}$ :

\mu _{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {k}{\lambda ^{k}}}x^{k-1}e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}dx=\int _{0}^{\infty }\lambda ^{n}t^{\frac {n}{k}}e^{-t}dt=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{k}}\right)={\frac {n\lambda ^{n}}{k}}\Gamma \left({\tfrac {n}{k}}\right)

{\ displaystyle \ mu _ {n} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}} dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n} t ^ {\ frac {n} {k} } e ^ {- t} dt = \ lambda ^ {n} \ Gamma \ left (1 + {\ tfrac {n} {k}} \ right) = {\ frac {n \ lambda ^ {n}} {k }} \ Gamma \ left ({\ tfrac {n} {k}} \ right)}

{\ displaystyle \ mu _ {n} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} e ^ {- ({\ frac {x} {\ lambda}}) ^ {k}} dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n} t ^ {\ frac {n} {k} } e ^ {- t} dt = \ lambda ^ {n} \ Gamma \ left (1 + {\ tfrac {n} {k}} \ right) = {\ frac {n \ lambda ^ {n}} {k }} \ Gamma \ left ({\ tfrac {n} {k}} \ right)}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este funcția Gamma a lui Euler.

În special, o variabilă aleatorie cu această distribuție are

speranță matematică

\mathbb {E} [X]={\frac {\lambda }{k}}\Gamma \left({\tfrac {1}{k}}\right)

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = {\ frac {\ lambda} {k}} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {k}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = {\ frac {\ lambda} {k}} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {k}} \ right)}

Și

varianță

{\text{Var}}(X)={\frac {2\lambda ^{2}}{k}}\Gamma ({\tfrac {2}{k}})-{\frac {\lambda ^{2}}{k^{2}}}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{k}})

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {2 \ lambda ^ {2}} {k}} \ Gamma ({\ tfrac {2} {k}}) - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {k ^ {2}}} \ Gamma ^ {2} ({\ tfrac {1} {k}})}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ frac {2 \ lambda ^ {2}} {k}} \ Gamma ({\ tfrac {2} {k}}) - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {k ^ {2}}} \ Gamma ^ {2} ({\ tfrac {1} {k}})}

.

Cuantilele $q_{\alpha }$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ de ordine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ sunt exprimate prin inversa funcției de distribuție,

q_{\alpha }=\lambda \left(\ln {\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{\frac {1}{k}}

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = \ lambda \ left (\ ln {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}

{\ displaystyle q _ {\ alpha} = \ lambda \ left (\ ln {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}

în special mediana este

q_{1/2}=\lambda (\ln 2)^{\frac {1}{k}}

{\ displaystyle q_ {1/2} = \ lambda (\ ln 2) ^ {\ frac {1} {k}}}

{\ displaystyle q_ {1/2} = \ lambda (\ ln 2) ^ {\ frac {1} {k}}}

.

Moda este valoarea asumată de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ unde $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ presupune o valoare maximă:

${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k(k-1)}{\lambda ^{k}}}x^{k-2}e^{-\left({\tfrac {x}{\lambda }}\right)^{k}}-{\frac {k}{\lambda ^{k}}}x^{k-1}\cdot {\frac {kx^{k-1}}{\lambda ^{k}}}e^{-\left({\tfrac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {df (x)} {dx}} = {\ frac {k (k-1)} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-2} e ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k}} - {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} \ cdot {\ frac {kx ^ {k-1}} {\ lambda ^ {k}}} și ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {df (x)} {dx}} = {\ frac {k (k-1)} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-2} e ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k}} - {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-1} \ cdot {\ frac {kx ^ {k-1}} {\ lambda ^ {k}}} și ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k}}}$

care este egal cu

${\frac {k(k-1)}{\lambda ^{k}}}x^{k-2}e^{-\left({\tfrac {x}{\lambda }}\right)^{k}}={\frac {k^{2}}{\lambda ^{2k}}}x^{2k-2}e^{-\left({\tfrac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {k (k-1)} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-2} e ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda}} \ right ) ^ {k}} = {\ frac {k ^ {2}} {\ lambda ^ {2k}}} x ^ {2k-2} e ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda} } \ dreapta) ^ {k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {k (k-1)} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {k-2} e ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda}} \ right ) ^ {k}} = {\ frac {k ^ {2}} {\ lambda ^ {2k}}} x ^ {2k-2} e ^ {- \ left ({\ tfrac {x} {\ lambda} } \ dreapta) ^ {k}}}$

$(k-1)x^{k-2}={\frac {k}{\lambda ^{k}}}x^{2k-2}$ ${\ displaystyle (k-1) x ^ {k-2} = {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {2k-2}}$ ${\ displaystyle (k-1) x ^ {k-2} = {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} x ^ {2k-2}}$

$x=\lambda \left(1-{\frac {1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}$ ${\ displaystyle x = \ lambda \ left (1 - {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle x = \ lambda \ left (1 - {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}$

definit așa cum vedem pentru valorile de $k>1$ ${\ displaystyle k> 1}$ $k> 1$ .

Pentru interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0, 1]$ se întâmplă că funcția scade peste tot, deci superiorul funcției ( $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ) îl avem în

Deci moda este în cele din urmă

pentru $k\leqslant 1$ ${\ displaystyle k \ leqslant 1}$ ${\ displaystyle k \ leqslant 1}$ .
$\lambda \left(1-{\frac {1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ left (1 - {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ left (1 - {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}$ pentru $k>1$ ${\ displaystyle k> 1}$ $k> 1$

Entropia este

H(X)=\left(1-{\tfrac {1}{k}}\right)\gamma +\ln \left({\tfrac {\lambda }{k}}\right)+1

{\ displaystyle H (X) = \ left (1 - {\ tfrac {1} {k}} \ right) \ gamma + \ ln \ left ({\ tfrac {\ lambda} {k}} \ right) +1 }

{\ displaystyle H (X) = \ left (1 - {\ tfrac {1} {k}} \ right) \ gamma + \ ln \ left ({\ tfrac {\ lambda} {k}} \ right) +1 }

,

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni .

Alte distribuții

Distribuția parametrilor Weibull $(\lambda ,1)$ ${\ displaystyle (\ lambda, 1)}$ ${\ displaystyle (\ lambda, 1)}$ corespunde distribuției exponențiale ${\mathcal {E}}({\lambda })$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ({\ lambda})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ({\ lambda})}$ .

Distribuția parametrilor Weibull $(\lambda ,2)$ ${\ displaystyle (\ lambda, 2)}$ ${\ displaystyle (\ lambda, 2)}$ corespunde distribuției parametrului Rayleigh $2\lambda ^{2}$ ${\ displaystyle 2 \ lambda ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2 \ lambda ^ {2}}$ .

O posibilă generalizare a distribuției Weibull implică introducerea unui parametru suplimentar $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ și descrie variabila aleatorie $X-\mu$ ${\ displaystyle X- \ mu}$ ${\ displaystyle X- \ mu}$ in loc de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Distribuția Weibull este descrisă, împreună cu distribuția Fréchet și, ca caz limitativ, distribuția Gumbel , prin distribuția generalizată a valorilor extreme .

Utilizare

La fel cum distribuția exponențială descrie „durata de viață” a unui fenomen fără memorie, tot așa distribuția Weibull poate descrie durata de viață a unui fenomen a cărui „probabilitate de moarte” poate varia în timp, în funcție de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Rata de eșec , adică densitatea probabilității în timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ condiționat de eveniment $X\geqslant t$ ${\ displaystyle X \ geqslant t}$ ${\ displaystyle X \ geqslant t}$ , Și

{\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {k}{\lambda ^{k}}}t^{k-1}

{\ displaystyle {\ frac {f (t)} {1-F (t)}} = {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} t ^ {k-1}}

{\ displaystyle {\ frac {f (t)} {1-F (t)}} = {\ frac {k} {\ lambda ^ {k}}} t ^ {k-1}}

;

în special

pentru $k<1$ ${\ displaystyle k <1}$ ${\ displaystyle k <1}$ rata de eșec scade în timp („mortalitate infantilă” ridicată)
pentru $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ rata de eșec este invariantă în timp ( lipsa memoriei )
pentru $k>1$ ${\ displaystyle k> 1}$ ${\ displaystyle k> 1}$ rata de eșec crește cu timpul ( îmbătrânire )

Distribuția Weibull este utilizată în multe domenii care se ocupă de eșecuri, cum ar fi analiza eșecurilor , analiza supraviețuirii , ingineria fiabilității și controlul calității . De asemenea, este utilizat în prognoza meteo și în industria eoliană pentru a descrie distribuția vitezei vântului , ca o generalizare a distribuției Rayleigh.

Notă

^ (EN) Weibull, W., O funcție de distribuție statistică de largă aplicabilitate, în J. Appl. Mech.-Trans. ASME , voi. 18, nr. 3, 1951, pp. 293-297.
^ ( FR ) Fréchet, M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum , in Ann. Soc. Polon. Matematica. , vol. 6, 1927, pp. 93--116.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe distribuția Weibull

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85145945 · GND (DE) 4065029-7

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Weibull, W., O funcție de distribuție statistică de largă aplicabilitate, în J. Appl. Mech.-Trans. ASME , voi. 18, nr. 3, 1951, pp. 293-297.

[2] ( FR ) Fréchet, M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum , in Ann. Soc. Polon. Matematica. , vol. 6, 1927, pp. 93--116.

[1]

[2]