Distribuția lui Fréchet

Distribuția lui Fréchet
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\alpha >0\$ ${\ displaystyle \ alpha> 0 \}$ $\ alpha> 0 \$
A sustine	$\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$
Funcția de densitate	$\alpha x^{-1-\alpha }e^{-x^{-\alpha }}\$ ${\ displaystyle \ alpha x ^ {- 1- \ alpha} e ^ {- x ^ {- \ alpha}} \}$ ${\ displaystyle \ alpha x ^ {- 1- \ alpha} e ^ {- x ^ {- \ alpha}} \}$
Funcția de distribuție	$e^{-x^{-\alpha }}\$ ${\ displaystyle e ^ {- x ^ {- \ alpha}} \}$ ${\ displaystyle e ^ {- x ^ {- \ alpha}} \}$
Valorea estimata	$\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)$ ${\ displaystyle \ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ left (1 - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right)}$ de sine $\alpha >1$ ${\ displaystyle \ alpha> 1}$ $\ alpha> 1$ (cu $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ funcția Gamma )
Median	$\left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {\ log 2}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {\ log 2}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}$
Modă	$\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}$
Varianța	$\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}$ ${\ displaystyle \ Gamma (1 - {\ tfrac {2} {\ alpha}}) - {\ big (} \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}}) {\ big)} ^ { 2}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (1 - {\ tfrac {2} {\ alpha}}) - {\ big (} \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}}) {\ big)} ^ { 2}}$ de sine $\alpha >2$ ${\ displaystyle \ alpha> 2}$ ${\ displaystyle \ alpha> 2}$ (cu $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ funcția Gamma )
Manual

În teoria probabilității, distribuția Fréchet este o distribuție continuă a probabilității definită pe numere reale pozitive.

Este numit după matematicianul francez Maurice René Fréchet , care a descris-o în 1927 . ^[1]

Definiție

Distribuția parametrului Fréchet $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$ este definit pe reali pozitivi cu funcție de distribuție

F(x)=e^{-x^{-\alpha }}

{\ displaystyle F (x) = e ^ {- x ^ {- \ alpha}}}

{\ displaystyle F (x) = e ^ {- x ^ {- \ alpha}}}

funcția sa de densitate de probabilitate este

f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}

{\ displaystyle f (x) = \ alpha x ^ {- \ alpha -1} e ^ {- x ^ {- \ alpha}}}

{\ displaystyle f (x) = \ alpha x ^ {- \ alpha -1} e ^ {- x ^ {- \ alpha}}}

.

Caracteristici

Distribuția parametrului Fréchet $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ are momente simple

\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\alpha \int _{0}^{\infty }x^{k-\alpha -1}e^{-x^{-\alpha }}dx

{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k} f (x) dx = \ alpha \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k- \ alpha -1} e ^ {- x ^ {- \ alpha}} dx}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k} f (x) dx = \ alpha \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k- \ alpha -1} e ^ {- x ^ {- \ alpha}} dx}

,

Să aplicăm o simplă schimbare de variabile

t=x^{-\alpha },\,dt=-\alpha x^{-\alpha -1}dx

{\ displaystyle t = x ^ {- \ alpha}, \, dt = - \ alpha x ^ {- \ alpha -1} dx}

{\ displaystyle t = x ^ {- \ alpha}, \, dt = - \ alpha x ^ {- \ alpha -1} dx}

\mu _{k}=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}dt

{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {- {\ frac {k} {\ alpha}}} e ^ {- t} dt}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {- {\ frac {k} {\ alpha}}} e ^ {- t} dt}

Această integrală converge atunci când $1-{\frac {k}{\alpha }}>0\Rightarrow k<\alpha$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {k} {\ alpha}}> 0 \ Rightarrow k <\ alpha}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {k} {\ alpha}}> 0 \ Rightarrow k <\ alpha}$

\mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)

{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ Gamma \ left (1 - {\ frac {k} {\ alpha}} \ right)}

{\ displaystyle \ mu _ {k} = \ Gamma \ left (1 - {\ frac {k} {\ alpha}} \ right)}

de sine

k<\alpha

{\ displaystyle k <\ alpha}

{\ displaystyle k <\ alpha}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este funcția Gamma .

În special o variabilă aleatorie cu această distribuție

de sine $\alpha >1$ ${\ displaystyle \ alpha> 1}$ $\ alpha> 1$ are speranță matematică $E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})$ ${\ displaystyle E [X] = \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}})}$ ${\ displaystyle E [X] = \ Gamma (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha}})}$ Și
de sine $\alpha >2$ ${\ displaystyle \ alpha> 2}$ ${\ displaystyle \ alpha> 2}$ are varianță ${\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-\Gamma ^{2}(1-{\tfrac {1}{\alpha }})$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = \ Gamma (1 - {\ tfrac {2} {\ alpha}}) - \ Gamma ^ {2} (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha }})}$ ${\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = \ Gamma (1 - {\ tfrac {2} {\ alpha}}) - \ Gamma ^ {2} (1 - {\ tfrac {1} {\ alpha }})}$

Cuantilele $q_{a}$ ${\ displaystyle q_ {a}}$ ${\ displaystyle q_ {a}}$ de ordine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt exprimate prin inversa funcției de distribuție,

q_{a}=F^{-1}(a)=\left({\frac {1}{\log {\tfrac {1}{a}}}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}

{\ displaystyle q_ {a} = F ^ {- 1} (a) = \ left ({\ frac {1} {\ log {\ tfrac {1} {a}}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {\ alpha}}}

{\ displaystyle q_ {a} = F ^ {- 1} (a) = \ left ({\ frac {1} {\ log {\ tfrac {1} {a}}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {\ alpha}}}

.

În special mediana este

q_{1/2}=({\tfrac {1}{\log 2}})^{\frac {1}{\alpha }}

{\ displaystyle q_ {1/2} = ({\ tfrac {1} {\ log 2}}) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}

{\ displaystyle q_ {1/2} = ({\ tfrac {1} {\ log 2}}) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}

.

Moda distribuției este $\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ alpha} {\ alpha +1}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}$ .

Alte distribuții

Distribuția Fréchet poate fi generalizată prin alți doi parametri, $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , descriind o variabilă aleatorie ${\tfrac {X-\mu }{\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {X- \ mu} {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {X- \ mu} {\ sigma}}}$ in loc de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; funcția de distribuție corespunzătoare este

F(x)=e^{-({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{-\alpha }}

{\ displaystyle F (x) = e ^ {- ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}) ^ {- \ alpha}}}

{\ displaystyle F (x) = e ^ {- ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}) ^ {- \ alpha}}}

.

Distribuția Fréchet este o distribuție generalizată a valorilor extreme , o familie de distribuții de probabilitate care descrie și distribuția Weibull în cazul particular în care un parametru este egal cu 1 și, ca caz limitativ, distribuția Gumbel .

Notă

^ ( FR ) Fréchet, M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum , in Ann. Soc. Polon. Matematica. , vol. 6, 1927, pp. 93-116.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Distribuirea Fréchet

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( FR ) Fréchet, M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum , in Ann. Soc. Polon. Matematica. , vol. 6, 1927, pp. 93-116.

[1]