Spline quadratică

În analiza numerică o splină este o funcție care constă dintr-un set de polinoame și interpola un set de puncte, nodurile splinei . Scopul splinei de interpolare este de a conecta aceste puncte continuu până la un ordin dat de derivate . Adică, cu alte cuvinte, aproximează funcția continuă care trece prin punctele de mai sus. De exemplu, pentru a obține o precizie mai mare, setul de puncte este împărțit în intervale și fiecare interval este aproximat de un polinom: cu cât este mai mare numărul de intervale, cu atât va fi mai „precisă” curba de interpolare. Splina pătratică interpolează intervale de puncte cu polinoame de gradul II (din acest motiv se numește pătratic) ^[1] .

Din motivele de mai sus se poate numi spline de gradul doi .

Interpolare cu spline quadratice

Având în vedere un set de puncte , poate fi interpolat în diferite moduri: liniar , cu interpolare Lagrange , prin spline sau cu funcție în bucăți (pătratic, cub și așa mai departe ...). Printre opțiunile pentru spline, este cea cu spline pătratică care, după cum sa menționat, își propune să construiască polinoame de gradul doi în intervalele dintre puncte. Un exemplu de set de puncte ar putea fi următorul:

x _i	0	1/6	1/2	5/6	1
y _i	1	3	1	2	1

Dacă scopul ^[2] este de a aproxima funcția continuă care le unește făcând-o cu o spline pătratică , atunci voi dori să construiesc pe fiecare segment ( interval ) o funcție de gradul doi care este cumva conectată, cu următoarea, la punctul care separă cele două intervale. Voi putea impune fileul prin derivate și va fi ultimul pas, în timp ce spline-ul va fi în general definit în acest fel:

$S_{2}(x){\begin{cases}S_{2}^{1}(x)=a_{0}^{(1)}+a_{1}^{(1)}(x-x_{0})+a_{2}^{(1)}(x-x_{0})^{2}\qquad x_{0}\leq x\leq x_{1}\\S_{2}^{2}(x)=a_{0}^{(2)}+a_{1}^{(2)}(x-x_{1})+a_{2}^{(2)}(x-x_{1})^{2}\qquad x_{1}\leq x\leq x_{2}\\\cdots \\S_{2}^{n}(x)=a_{0}^{(n)}+a_{1}^{(n)}(x-x_{n})+a_{2}^{(n)}(x-x_{n})^{2}\qquad x_{n-1}\leq x\leq x_{n}\end{cases}}$ ${\ displaystyle S_ {2} (x) {\ begin {cases} S_ {2} ^ {1} (x) = a_ {0} ^ {(1)} + a_ {1} ^ {(1)} ( x-x_ {0}) + a_ {2} ^ {(1)} (x-x_ {0}) ^ {2} \ qquad x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1} \\ S_ {2 } ^ {2} (x) = a_ {0} ^ {(2)} + a_ {1} ^ {(2)} (x-x_ {1}) + a_ {2} ^ {(2)} ( x-x_ {1}) ^ {2} \ qquad x_ {1} \ leq x \ leq x_ {2} \\\ cdots \\ S_ {2} ^ {n} (x) = a_ {0} ^ { (n)} + a_ {1} ^ {(n)} (x-x_ {n}) + a_ {2} ^ {(n)} (x-x_ {n}) ^ {2} \ qquad x_ { n-1} \ leq x \ leq x_ {n} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle S_ {2} (x) {\ begin {cases} S_ {2} ^ {1} (x) = a_ {0} ^ {(1)} + a_ {1} ^ {(1)} ( x-x_ {0}) + a_ {2} ^ {(1)} (x-x_ {0}) ^ {2} \ qquad x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1} \\ S_ {2 } ^ {2} (x) = a_ {0} ^ {(2)} + a_ {1} ^ {(2)} (x-x_ {1}) + a_ {2} ^ {(2)} ( x-x_ {1}) ^ {2} \ qquad x_ {1} \ leq x \ leq x_ {2} \\\ cdots \\ S_ {2} ^ {n} (x) = a_ {0} ^ { (n)} + a_ {1} ^ {(n)} (x-x_ {n}) + a_ {2} ^ {(n)} (x-x_ {n}) ^ {2} \ qquad x_ { n-1} \ leq x \ leq x_ {n} \ end {cases}}}$

Unde este $S_{2}(x)$ ${\ displaystyle S_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle S_ {2} (x)}$ înseamnă spline de gradul II . De exemplu, pentru datele de mai sus avem x ₀ = 0 și x _n = 1. Doar introduceți datele și faceți calculele pentru a obține n funcții $S_{2}^{\,i}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\, i}}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\, i}}$ pentru fiecare dintre $i=1,2\ldots n$ ${\ displaystyle i = 1,2 \ ldots n}$ ${\ displaystyle i = 1,2 \ ldots n}$ intervale ( n este 4 în exemplu).

Pentru a impune că interpolează , va trebui apoi să pun condițiile evidente $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ pentru fiecare dintre funcțiile aparținând splinei:

${\begin{cases}S_{2}^{1}(x_{0})=y_{0}\ ,\ S_{2}^{1}(x_{1})=y_{1}\\S_{2}^{2}(x_{1})=y_{1}\ ,\ S_{2}^{2}(x_{2})=y_{2}\\\cdots \\S_{2}^{n}(x_{n-1})=y_{n-1}\ ,\ S_{2}^{n}(x_{n})=y_{n}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} S_ {2} ^ {1} (x_ {0}) = y_ {0} \, \ S_ {2} ^ {1} (x_ {1}) = y_ {1} \\ S_ {2} ^ {2} (x_ {1}) = y_ {1} \, \ S_ {2} ^ {2} (x_ {2}) = y_ {2} \\\ cdots \\ S_ {2} ^ {n} (x_ {n-1}) = y_ {n-1} \, \ S_ {2} ^ {n} (x_ {n}) = y_ {n} \ end {cases}} }$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} S_ {2} ^ {1} (x_ {0}) = y_ {0} \, \ S_ {2} ^ {1} (x_ {1}) = y_ {1} \\ S_ {2} ^ {2} (x_ {1}) = y_ {1} \, \ S_ {2} ^ {2} (x_ {2}) = y_ {2} \\\ cdots \\ S_ {2} ^ {n} (x_ {n-1}) = y_ {n-1} \, \ S_ {2} ^ {n} (x_ {n}) = y_ {n} \ end {cases}} }$

Și, în cele din urmă, după cum am promis, conexiunea continuă , exploatând derivatele:

$S_{2}^{\ '(1)}(x_{1})=S_{2}^{\ '(2)}(x_{1})\,;\quad S_{2}^{\ '(2)}(x_{2})=S_{2}^{\ '(3)}(x_{2});\quad \ldots \quad S_{2}^{\ '({n-1})}(x_{n-1})=S_{2}^{\ '(n)}(x_{n-1});$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\ '(1)} (x_ {1}) = S_ {2} ^ {\' (2)} (x_ {1}) \ ,; \ quad S_ {2} ^ {\ '(2)} (x_ {2}) = S_ {2} ^ {\' (3)} (x_ {2}); \ quad \ ldots \ quad S_ {2} ^ {\ '({n -1})} (x_ {n-1}) = S_ {2} ^ {\ '(n)} (x_ {n-1});}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\ '(1)} (x_ {1}) = S_ {2} ^ {\' (2)} (x_ {1}) \ ,; \ quad S_ {2} ^ {\ '(2)} (x_ {2}) = S_ {2} ^ {\' (3)} (x_ {2}); \ quad \ ldots \ quad S_ {2} ^ {\ '({n -1})} (x_ {n-1}) = S_ {2} ^ {\ '(n)} (x_ {n-1});}$

Unde $S_{2}^{\ '(i)}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\ '(i)}}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\ '(i)}}$ este primul derivat al $S_{2}^{\ i}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\ i}}$ ${\ displaystyle S_ {2} ^ {\ i}}$ . Acest ultim pas se realizează numai în punctele de legătură dintre diferitele intervale, astfel încât să existe o funcție de interpolare „ lină ” pentru sensul intuitiv al derivatului .

Constrângeri suplimentare

În locul pasajului pentru date $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ pot fi atribuite diferite constrângeri, cum ar fi starea unei valori date a derivatei într-o anumită $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ , dar procesul nu se schimbă.

Notă

^ WJ Kammerer, GW Reddien RS Varga, Quadratic Interpolatory Splines ( PDF ), su math.kent.edu .
^ Interpolare prin spline ( PDF ), pe math.uh.edu .

Elemente conexe

linkuri externe

Pentru interpolare, pe lângă stilou și hârtie, pot fi utilizate software și limbaje științifice precum MATLAB (comercial) sau Octave (open source).

[1] WJ Kammerer, GW Reddien RS Varga, Quadratic Interpolatory Splines ( PDF ), su math.kent.edu .

[2] Interpolare prin spline ( PDF ), pe math.uh.edu .

[1]

[2]