Funcția spline

O spline din lemn

În analiza matematică , o splină este o funcție , constând dintr-un set de polinoame conectate, al căror scop este de a interpola un set de puncte (numite noduri spline) într-un interval, astfel încât funcția să fie continuă cel puțin până la un ordin dat de derivate în orice moment al intervalului.

Calculul funcțiilor spline este un instrument puternic de grafică pe calculator bazat pe vectori , cum ar fi CAD (Computer Aided Design). Termenul englezesc spline înseamnă o bandă de metal sau lemn, deoarece inițial splina era un instrument special de desen format din benzi elastice lungi fixate pe nodurile interpolației prin greutăți mari. ^[1]

Identificarea funcțiilor necesită calcularea coeficienților polinomului de interpolare. Există diferite moduri de a genera spline, dar, spre deosebire de metodele numerice ale lui Newton și Lagrange , ale căror polinoame au un grad care depinde de numărul de poli considerați, utilizează polinoame de grad $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ setat să fuzioneze toate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ noduri, cu $p<n$ ${\ displaystyle p <n}$ ${\ displaystyle p <n}$ . Prin urmare, o splină nu generează un singur polinom de interpolare, ci un set de polinoame care se conectează între ele, astfel încât funcția spline finală este continuă în toate nodurile. De exemplu, luați în considerare o funcție spline de grad $p=3$ ${\ displaystyle p = 3}$ $p = 3$ : generează un set de cubice continue care pot fi diferențiate de două ori în intervalul de interpolare; în plus, la extremele intervalului, a doua derivată trebuie să fie zero, adică funcția iese cu un curs rectiliniu în afara extremelor intervalului; în acest caz vorbim despre o spline naturală . ^[1]

Splina are caracteristica de a interpola punctele astfel încât să nu aibă modificări bruște în pantă, adică să fie foarte netedă și netedă; de fapt se poate arăta că funcția spline $y=s(x)$ ${\ displaystyle y = s (x)}$ ${\ displaystyle y = s (x)}$ minimizați în intervalul de interpolare $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cantitatea

{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}\left\vert s''(x)\right\vert ^{2}dx}},

{\ displaystyle {\ sqrt {\ int \ limits _ {a} ^ {b} \ left \ vert s '' (x) \ right \ vert ^ {2} dx}},}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ int \ limits _ {a} ^ {b} \ left \ vert s '' (x) \ right \ vert ^ {2} dx}},}

care, din punct de vedere geometric, poate fi interpretat ca măsura curburii medii a splinei. Din punct de vedere fizic, condiția anterioară traduce condiția de minimizare a energiei elastice pe care o dețin benzile metalice aparținând instrumentului de desen original. ^[1]

Definiție

Este $\Lambda =\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$ ${\ displaystyle \ Lambda = \ {a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n} = b \}}$ ${\ displaystyle \ Lambda = \ {a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n} = b \}}$ o subdiviziune a intervalului închis $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . O funcție de spline de grad $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu noduri în puncte $x_{i},$ ${\ displaystyle x_ {i},}$ ${\ displaystyle x_ {i},}$ cu $i=0,1,2,\dots ,n,$ ${\ displaystyle i = 0,1,2, \ dots, n,}$ ${\ displaystyle i = 0,1,2, \ dots, n,}$ este o funcție activată $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ indicat cu $s_{p}(x)$ ${\ displaystyle s_ {p} (x)}$ $s_p (x)$ astfel încât, în interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ avem:

în fiecare subgama $[x_{i},x_{i+1}],$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}],}$ ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}],}$ cu $i=0,1,2,\dots ,n-1,$ ${\ displaystyle i = 0,1,2, \ dots, n-1,}$ ${\ displaystyle i = 0,1,2, \ dots, n-1,}$ functia $s_{p}(x)$ ${\ displaystyle s_ {p} (x)}$ $s_p (x)$ este un polinom de grad $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ;
functia $s_{p}(x)$ ${\ displaystyle s_ {p} (x)}$ $s_p (x)$ și primele sale $p-1$ ${\ displaystyle p-1}$ $p-1$ derivatele sunt continue.

O funcție spline interpolează dacă, pe lângă satisfacerea celor două cerințe indicate mai sus, trece prin fiecare dintre punctele care o definesc. În special, având în vedere tabelarea (eșantionarea) unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în puncte $(x_{i},y_{i}),$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}),}$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}),}$ cu $i=0,1,\dots ,n,$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ dots, n,}$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ dots, n,}$ splina se numește interpolare a splinei $s_{p}(x)$ ${\ displaystyle s_ {p} (x)}$ $s_p (x)$ astfel încât: $s_{p}(x_{i})=y_{i}$ ${\ displaystyle s_ {p} (x_ {i}) = y_ {i}}$ ${\ displaystyle s_ {p} (x_ {i}) = y_ {i}}$ pentru fiecare $i=0,1,\dots ,n.$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ dots, n.}$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ dots, n.}$

Indicat cu $s_{p,j}(x)$ ${\ displaystyle s_ {p, j} (x)}$ $s_ {p, j} (x)$ restricția unei spline de grad $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ pe subgama $[x_{j},x_{j+1}],$ ${\ displaystyle [x_ {j}, x_ {j + 1}],}$ ${\ displaystyle [x_ {j}, x_ {j + 1}],}$ pentru $j=0,\dots ,n-1,$ ${\ displaystyle j = 0, \ dots, n-1,}$ ${\ displaystyle j = 0, \ dots, n-1,}$ te poți gândi oricând $s_{p,j}(x)$ ${\ displaystyle s_ {p, j} (x)}$ $s_ {p, j} (x)$ în formă

s_{p,j}(x)=\sum _{i=0}^{p}a_{ij}(x-x_{j})^{i},

{\ displaystyle s_ {p, j} (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {p} a_ {ij} (x-x_ {j}) ^ {i},}

{\ displaystyle s_ {p, j} (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {p} a_ {ij} (x-x_ {j}) ^ {i},}

unde $n(p+1)$ ${\ displaystyle n (p + 1)}$ $n (p + 1)$ coeficienți $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ (Sunt $p+1$ ${\ displaystyle p + 1}$ $p + 1$ pe fiecare dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ subintervalele) se determină prin impunerea condițiilor de continuitate a $s_{p}^{(k)}$ ${\ displaystyle s_ {p} ^ {(k)}}$ $s_ {p} ^ {(k)}$ în nodurile interne:

s_{p,j-1}^{(k)}(x_{j})=s_{p,j}^{(k)}(x_{j}),

{\ displaystyle s_ {p, j-1} ^ {(k)} (x_ {j}) = s_ {p, j} ^ {(k)} (x_ {j}),}

{\ displaystyle s_ {p, j-1} ^ {(k)} (x_ {j}) = s_ {p, j} ^ {(k)} (x_ {j}),}

pentru

j=1,\ldots ,n-1\quad k=0,\ldots ,p-1.

{\ displaystyle j = 1, \ ldots, n-1 \ quad k = 0, \ ldots, p-1.}

j = 1, \ ldots, n-1 \ quad k = 0, \ ldots, p-1.

Cu toate acestea, acest lucru dă naștere la $p(n-1)$ ${\ displaystyle p (n-1)}$ $p (n-1)$ ecuațiile, deci sistemul de ecuații astfel obținut, are $n+p=n(p+1)-p(n-1)$ ${\ displaystyle n + p = n (p + 1) -p (n-1)}$ $n + p = n (p + 1) -p (n-1)$ grade de libertate. De asemenea, în cazul splinelor de interpolare, prin impunerea trecerii splinei pentru puncte $(x_{i},y_{i}),$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}),}$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}),}$ pentru $i=0,\ldots ,n,$ ${\ displaystyle i = 0, \ ldots, n,}$ ${\ displaystyle i = 0, \ ldots, n,}$ încă neputând determina $p-1$ ${\ displaystyle p-1}$ $p-1$ coeficienți. Din acest motiv, în practică, este obișnuit să adăugați condiții suplimentare, astfel încât sistemul să aibă o soluție unică.

Cele mai utilizate condiții suplimentare sunt de două tipuri:

$s_{p}^{(k)}(a)=s_{p}^{(k)}(b),$ ${\ displaystyle s_ {p} ^ {(k)} (a) = s_ {p} ^ {(k)} (b),}$ ${\ displaystyle s_ {p} ^ {(k)} (a) = s_ {p} ^ {(k)} (b),}$ pentru $k=1,\ldots ,p-1,$ ${\ displaystyle k = 1, \ ldots, p-1,}$ ${\ displaystyle k = 1, \ ldots, p-1,}$

spline care satisfac acest tip de condiții se numesc spline periodice ;

$s_{p}^{(m+j)}(a)=s_{p}^{(m+j)}(b)=0,$ ${\ displaystyle s_ {p} ^ {(m + j)} (a) = s_ {p} ^ {(m + j)} (b) = 0,}$ ${\ displaystyle s_ {p} ^ {(m + j)} (a) = s_ {p} ^ {(m + j)} (b) = 0,}$ pentru $j=0,\ldots ,m-2,$ ${\ displaystyle j = 0, \ ldots, m-2,}$ ${\ displaystyle j = 0, \ ldots, m-2,}$

cu condiția, totuși, că este $p=2m-1,$ ${\ displaystyle p = 2m-1,}$ ${\ displaystyle p = 2m-1,}$ cu $m\geq 2.$ ${\ displaystyle m \ geq 2.}$ ${\ displaystyle m \ geq 2.}$ Spline care îndeplinesc astfel de condiții se numesc spline naturale .

Dintre toate funcțiile aparținând spațiului Sobolev H ² care trec $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ puncte atribuite și care îndeplinesc una dintre condițiile suplimentare anterioare, splina cubică interpolantă este cea care minimizează integralul:

\ \left(\int \left|f''{(2)}(t)\right|^{2}\,dt\right)^{1/2}.

{\ displaystyle \ \ left (\ int \ left | f '' {(2)} (t) \ right | ^ {2} \, dt \ right) ^ {1/2}.}

{\ displaystyle \ \ left (\ int \ left | f '' {(2)} (t) \ right | ^ {2} \, dt \ right) ^ {1/2}.}

Această integrală, dacă prima derivată este mică, poate fi interpretată ca o bună aproximare a curburii medii. Faptul că este minim justifică afirmația că splina este cea mai lină funcție de interpolare.

Notă

^ ^a ^b ^c Walter Maraschini și Mauro Palma, Garzantina di Matematica , Garzanti, 2014.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția Spline

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 57247 · LCCN (EN) sh85126830

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[:0-1] Walter Maraschini și Mauro Palma, Garzantina di Matematica , Garzanti, 2014.

[1]