Estimator

În statistici, un estimator (punct) este o funcție care asociază o valoare a parametrului care trebuie estimat fiecărui eșantion posibil. Este o funcție a unui eșantion de date extrase aleatoriu dintr-o populație .

Valoarea asumată de estimator pentru un anumit eșantion se numește estimare .

Un estimator de punct este deci o variabilă aleatorie care este o funcție a eșantionului, cu valori în spațiul parametric (adică în setul de valori posibile ale parametrului).

Proprietăți de dorit pentru un estimator

În general, nu există niciun criteriu pentru a determina care estimator pentru o anumită cantitate este cel mai bun . Cu toate acestea, în contextul statisticilor clasice, au fost propuse o serie de proprietăți care sunt considerate de dorit pentru un estimator.

În primul rând, un bun estimator ar trebui să furnizeze estimări apropiate de valoarea parametrului care urmează să fie estimat, adică eroarea pe care o facem presupunând că valoarea parametrului este egală cu estimarea trebuie să fie mică . Necunoscând valoarea parametrului nu suntem în măsură să cuantificăm eroarea comisă pentru o anumită estimare, dar putem cuantifica deviația medie între variabila aleatoare a estimatorului și parametru. Bunătatea unui estimator este de fapt evaluată pe baza unor proprietăți precum corectitudinea , corectitudinea asimptotică, consistența și eficiența care sunt legate de această abatere medie.

În termeni mai precise, dacă cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ indicăm parametrul de estimat și cu ${\hat {\mu }}(Y)$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mu}} (Y)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mu}} (Y)}$ estimatorul, o funcție a eșantionului $Da,$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle Y,}$ putem calcula valoarea așteptată a deviației dintre estimator și parametru, numită bias (numită și cu termenul englezesc , bias ):

{\textrm {E}}\left[{\hat {\mu }}(Y)\right]-\mu

{\ displaystyle {\ textrm {E}} \ left [{\ hat {\ mu}} (Y) \ right] - \ mu}

{\ displaystyle {\ textrm {E}} \ left [{\ hat {\ mu}} (Y) \ right] - \ mu}

și eroarea pătrată medie

{\textrm {E}}\left[({\hat {\mu }}(Y)-\mu )^{2}\right]

{\ displaystyle {\ textrm {E}} \ left [({\ hat {\ mu}} (Y) - \ mu) ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle {\ textrm {E}} \ left [({\ hat {\ mu}} (Y) - \ mu) ^ {2} \ right]}

.

Acestea sunt principalele cantități utilizate pentru a evalua bunătatea unui estimator în sensul că cu cât sunt mai mici, cu atât este mai bun estimatorul.

Mai general, proprietățile dorite pentru un estimator sunt:

Exemplu

Suntem interesați să cunoaștem înălțimea medie a populației rezidente de femei italiene adulte (prin care ne referim la persoanele cu vârsta peste 18 ani). Populația este deci ansamblul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ persoane de sex feminin care locuiesc în Italia cu vârsta peste 18 ani. De sine $x_{1},\ldots ,x_{N}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}}$ sunt înălțimile lor, parametrul care trebuie estimat este $\ \mu ={\textrm {E}}[x_{i}]$ ${\ displaystyle \ \ mu = {\ textrm {E}} [x_ {i}]}$ ${\ displaystyle \ \ mu = {\ textrm {E}} [x_ {i}]}$ .

Nu putem observa întreaga populație despre care nu cunoaștem valoarea $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , apoi pentru a deduce această valoare observăm un subset de 1000 de unități din populația (eșantionul) ales astfel încât fiecare individ din populație să aibă aceeași probabilitate de a fi inclus în eșantion. Pentru fiecare unitate a probei măsurăm înălțimea, obținând astfel secvența $y_{1},\ldots ,y_{1000}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {1000}}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {1000}}$ .

Un estimator rezonabil pentru $\ \mu$ ${\ displaystyle \ \ mu}$ $\ \ mu$ este atunci media aritmetică a $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ :

{\hat {\mu }}={\frac {1}{1000}}\sum _{i=1}^{1000}y_{i}

{\ displaystyle {\ hat {\ mu}} = {\ frac {1} {1000}} \ sum _ {i = 1} ^ {1000} y_ {i}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mu}} = {\ frac {1} {1000}} \ sum _ {i = 1} ^ {1000} y_ {i}}

.

Bibliografie

James Stock, Mark Watson, Introducere în econometrie , Milano, Pearson Education, 2005, p. 59, ISBN 978-88-7192-267-6 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ estimator ”

Controlul autorității	Tezaur BNCF 61564

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică