Teorema centrului de greutate al triunghiului
Această intrare sau secțiune despre geometrie nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Teorema centrului de greutate al triunghiului face parte din geometria elementară și rezultă din teorema lui Thales .
Afirmație
Medianele unui triunghi se întâlnesc în același punct, centrul de greutate . Fiecare mediană este împărțită de centrul de greutate în două părți, iar cea căreia îi aparține vârful este dublă de cealaltă.
Demonstrație
Fie AM , BN și CP medianele triunghiului ABC și G punctul în care AM întâlnește BN . Se arată la început că AG = 2GM și BG = 2GN , apoi că CP mediană trece și prin punctul G.
Segmentul care unește punctele medii M și N este paralel cu latura AB și egal cu jumătatea sa pentru o propoziție care derivă, chiar dacă indirect, din teorema lui Thales . Cu același raționament, dacă Q și R sunt punctele medii ale AG și BG, atunci segmentul QR este paralel cu AB și egal cu jumătatea sa.
Patrulaterul MNQR este un paralelogram având două laturi opuse congruente și paralele și apoi diagonalele sale NR și MQ se împart interschimbabil la jumătate. În acest fel este deci AQ = QG = GM și BR = RG = GN . Ceea ce dovedește prima parte a dovezii.
Dacă același raționament se repetă pornind de la diagonalele AM și CP , punctul lor de întâlnire G 'le va împărți în două părți, una dublă a celeilalte. Acum, deoarece există un singur punct G care împarte mediana AM astfel încât AG = 2GM, punctul G ' trebuie să coincidă cu G.
