Teorema rachetei de tenis

Axele principale ale unei rachete de tenis

Teorema rachetei de tenis sau teorema axei intermediare este rezultatul mecanicii clasice care descrie mișcarea unui corp rigid cu trei momente diferite de inerție . Se mai numește efectul Džanibekov , pentru cosmonautul rus Vladimir Džanibekov care a observat una dintre consecințele teoremei în spațiu în 1985 ^[1], deși efectul era deja cunoscut cu cel puțin 150 de ani mai devreme ^[2] și a fost bine descris în mecanică texte clasice contemporane și cunoscute lui Džanibekov. ^[3] ^[4] Un articol care explica acest efect a fost publicat în 1991. ^[5]

Teorema descrie următorul efect: rotația unui obiect în jurul primei și celei de-a treia axe principale este stabilă, în timp ce rotația în jurul celei de-a doua axe (sau axa intermediară) nu este.

Acest lucru poate fi demonstrat cu următorul experiment: țineți o rachetă de tenis în mâner, cu fața orizontală; încercați să-l aruncați în aer în așa fel încât să faceți o rotație completă în jurul axei orizontale, perpendicular pe mâner și încercați să prindeți mânerul. În aproape toate cazurile, în timpul rotației, fața va efectua și o jumătate de rotație, astfel încât fața să se întoarcă inițial în sus, să devină orientată în jos. În schimb, este ușor să aruncați racheta rotind-o în jurul axei mânerului sau axei verticale perpendiculare pe mâner (a treia axă principală și respectiv prima) fără ca o jumătate de rotație suplimentară să aibă loc în jurul altei axe.

Experimentul poate fi realizat cu orice obiect cu trei momente de inerție, de exemplu cu o carte, o telecomandă sau un telefon mobil. Efectul apare atunci când axa de rotație diferă chiar ușor de a doua axă principală a obiectului; rezistența aerului și gravitația nu sunt necesare. ^[6]

Teorie

O vizualizare a instabilității axei intermediare. Modulul momentului unghiular și energia cinetică a obiectului rotativ sunt conservate. În consecință, vectorul vitezei unghiulare rămâne la intersecția celor două elipsoide.

Redați fișierul media

Demonstrarea efectului Džanibekov în microgravitate , NASA .

Teorema poate fi analizată calitativ cu ajutorul ecuațiilor lui Euler . În condițiile unui moment mecanic zero, acestea iau următoarea formă:

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}\qquad {\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}\qquad {\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}\qquad {\text{(3)}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {2} -I_ {3}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} \ qquad {\ text {(1)}} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {3} -I_ {1}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} \ qquad {\ text {(2)}} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} & = (I_ {1} -I_ {2}) \ omega _ { 1} \ omega _ {2} \ qquad {\ text {(3)}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {2} -I_ {3}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} \ qquad {\ text {(1)}} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {3} -I_ {1}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} \ qquad {\ text {(2)}} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} & = (I_ {1} -I_ {2}) \ omega _ { 1} \ omega _ {2} \ qquad {\ text {(3)}} \ end {align}}}

Aici $I_{1},I_{2},I_{3}$ ${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ ${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ indica principalele momente de inerție ale obiectului și se presupune că $I_{1}>I_{2}>I_{3}$ ${\ displaystyle I_ {1}> I_ {2}> I_ {3}}$ ${\ displaystyle I_ {1}> I_ {2}> I_ {3}}$ . $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3}}$ indicați viteza unghiulară din jurul celor trei axe principale și derivatele lor în timp sunt indicate prin ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {1}, {\ dot {\ omega}} _ {2}, {\ dot {\ omega}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {1}, {\ dot {\ omega}} _ {2}, {\ dot {\ omega}} _ {3}}$ .

Rotație stabilă în jurul primei și a treia axe principale

Luați în considerare situația în care obiectul se rotește în jurul axei cu momentul de inerție $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ . Pentru a determina natura echilibrului, presupuneți viteza unghiulară inițială de-a lungul celorlalte două minime. În consecință, conform ecuației (1), $~{\dot {\omega }}_{1}$ ${\ displaystyle ~ {\ dot {\ omega}} _ {1}}$ ${\ displaystyle ~ {\ dot {\ omega}} _ {1}}$ este foarte mic. Prin urmare, dependența de timp de $~\omega _{1}$ ${\ displaystyle ~ \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle ~ \ omega _ {1}}$ poate fi trecut cu vederea.

Acum, derivând ecuația (2) și substituind ${\dot {\omega }}_{3}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$ din ecuația (3), obținem

{\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\implies {\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(quantità negativa)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} I_ {3} {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {3} -I_ {1}) (I_ {1} -I_ { 2}) (\ omega _ {1}) ^ {2} \ omega _ {2} \\\ implică {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = {\ text {(cantitate negativă)}} \ cdot \ omega _ {2} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {2} I_ {3} {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {3} -I_ {1}) (I_ {1} -I_ { 2}) (\ omega _ {1}) ^ {2} \ omega _ {2} \\\ implică {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = {\ text {(cantitate negativă)}} \ cdot \ omega _ {2} \ end {align}}}

Rețineți că $\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ este opus și, prin urmare, rotația în jurul acestei axe este stabilă.

Un raționament similar conduce la concluzia că rotația în jurul $I_{3}$ ${\ displaystyle I_ {3}}$ ${\ displaystyle I_ {3}}$ este stabil.

Rotație instabilă în jurul celei de-a doua axe principale

Acum aplicați aceeași analiză pe axa cu momentul de inerție $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ . De data aceasta este ${\dot {\omega }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {2}}$ a fi foarte mic. Prin urmare, dependența temporală de $~\omega _{2}$ ${\ displaystyle ~ \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle ~ \ omega _ {2}}$ poate fi trecut cu vederea.

Acum, derivând ecuația (1) și substituind ${\dot {\omega }}_{3}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$ din ecuația (3), obținem

{\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\implies {\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(quantità positiva)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} I_ {3} {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {2} -I_ {3}) (I_ {1} -I_ { 2}) (\ omega _ {2}) ^ {2} \ omega _ {1} \\\ implică {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = {\ text {(cantitate pozitivă)}} \ cdot \ omega _ {1} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} I_ {3} {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {2} -I_ {3}) (I_ {1} -I_ { 2}) (\ omega _ {2}) ^ {2} \ omega _ {1} \\\ implică {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = {\ text {(cantitate pozitivă)}} \ cdot \ omega _ {1} \ end {align}}}

Rețineți că $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ nu este contracarat (va crește cu timpul) și, prin urmare, rotația în jurul celei de-a doua axe este instabilă . Prin urmare, chiar și o mică perturbare de-a lungul celorlalte axe determină răsturnarea obiectului.

Notă

^ ( RU ) Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова) , pe oko-planet.su , 23 iulie 2009. Software-ul poate fi descărcat de aici
^ Poinsot 1834 .
^ H. Goldstein, Mecanica clasică , ediția a II-a, Addison-Wesley, 1980.
^ Lev Landau și Evgenij Lifshitz , Mecanică , ediția a 3-a, Pergamon Press, 1976. ISBN 0-08-021022-8 (Hardcover) și ISBN 0-08-029141-4 ( Hardcover ).
^ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone și Richard H. Cushman, The Twisting Tennis Racket , în Journal of Dynamics and Differential Equations , vol. 3, nr. 1, ianuarie 1991, pp. 67–85, Bibcode : 1991JDDE .... 3 ... 67A , DOI : 10.1007 / BF01049489 .
^ Mark Levi, Mecanica clasică cu calculul variațiilor și controlul optim: o introducere intuitivă , American Mathematical Society, 2014, pp. 151-152, ISBN 9781470414443 .

Elemente conexe

linkuri externe

Dan Russell, demonstrație cu efect lent Dzhanibekov cu rachete de tenis de masă , pe youtube.com , 5 martie 2010 ..
zapadlovsky, demonstrația efectului Dzhanibekov, pe youtube.com , 16 iunie 2010.
Viacheslav Mezentsev, efectul Djanibekov modelat în Mathcad 14 , pe youtube.com , 7 septembrie 2011.
( FR ) Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotation des corps , Paris, Bachelier, 1834, p. 170,OCLC 457954839 .

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] ( RU ) Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова) , pe oko-planet.su , 23 iulie 2009. Software-ul poate fi descărcat de aici

[2] Poinsot 1834 .

[3] H. Goldstein, Mecanica clasică , ediția a II-a, Addison-Wesley, 1980.

[4] Lev Landau și Evgenij Lifshitz , Mecanică , ediția a 3-a, Pergamon Press, 1976. ISBN 0-08-021022-8 (Hardcover) și ISBN 0-08-029141-4 ( Hardcover ).

[5] Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone și Richard H. Cushman, The Twisting Tennis Racket , în Journal of Dynamics and Differential Equations , vol. 3, nr. 1, ianuarie 1991, pp. 67–85, Bibcode : 1991JDDE .... 3 ... 67A , DOI : 10.1007 / BF01049489 .

[6] Mark Levi, Mecanica clasică cu calculul variațiilor și controlul optim: o introducere intuitivă , American Mathematical Society, 2014, pp. 151-152, ISBN 9781470414443 .

[1],

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]