Teorema lui Alfvén

Teorema Alfven afirmă că într-un fluid conductiv cu rezistivitate nimic (sau foarte puțin), liniile de câmp magnetice rămân înghețate într-un anumit volum de fluid (în engleză, înghețat în).

Această teoremă explică o anumită varietate de fenomene din magnetosferă și plasme .

Dovada este destul de elementară în contextul HD ideal.

Demonstrație

Evoluția unui volum elementar de fluid delimitat de suprafață

S_{1}

{\ displaystyle S_ {1}}

S_1

, care în timp

\Delta t

{\ displaystyle \ Delta t}

\ Delta t

curge cu viteza

\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {v}}

\ mathbf {v}

pe poziție

S_{2}

{\ displaystyle S_ {2}}

S_2

.

Să luăm o suprafață de curgere $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ la momentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , care este transportat de-a lungul vitezei fluidului $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ la timp $\Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ pe poziție $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ . Lasa-i sa fie ${\hat {\mathbf {n} }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {1}}$ ${\ hat {{\ mathbf {n}}}} _ {1}$ și ${\hat {\mathbf {n} }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {n}}}} _ {2}$ cei doi versori normali la cele două suprafețe. Afirmația teoremei implică faptul că, dacă liniile câmpului magnetic rămân înghețate în cilindrul fluidului delimitat de $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ , $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ și înălțime $v\;\Delta t$ ${\ displaystyle v \; \ Delta t}$ $v \; \ Delta t$ , variația în timp a fluxului magnetic din interiorul cilindrului este zero, ${\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = 0}$ ${\ frac {{\ mathrm {d}} \ phi} {{\ mathrm {d}} t}} = 0$ .

În schimb, dacă variația debitului din interiorul cilindrului este zero, putând alege volumul elementar de fluid într-un mod arbitrar, aceasta implică faptul că topologia magnetică rămâne legată de câmpul de viteză al fluidului.

Variația debitului în interiorul cilindrului poate fi exprimată ca:

\,{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\phi _{2}(t+\Delta t)-\phi _{1}(t)}{\Delta t}}

{\ displaystyle \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ {1 } (t)} {\ Delta t}}}

\, {\ frac {{\ mathrm {d}} \ phi} {{\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {\ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ { 1} (t)} {\ Delta t}}

.

Realizarea dezvoltării fluxului de către Taylor $\phi _{2}$ ${\ displaystyle \ phi _ {2}}$ $\ phi _ {2}$ primesti:

\,\phi _{2}(t+\Delta t)=\int _{S_{2}}\mathbf {B} (t)\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\;\mathrm {d} S_{2}\,+\,\Delta t\int _{S_{2}}{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial t}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\;\mathrm {d} S_{2}=\phi _{2}(t)\,+\,\Delta t\int _{S_{2}}{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial t}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\;\mathrm {d} S_{2}

{\ displaystyle \, \ phi _ {2} (t + \ Delta t) = \ int _ {S_ {2}} \ mathbf {B} (t) \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {2} \; \ mathrm {d} S_ {2} \, + \, \ Delta t \ int _ {S_ {2}} {\ frac {\ partial \ mathrm {B}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {2} \; \ mathrm {d} S_ {2} = \ phi _ {2} (t) \, + \, \ Delta t \ int _ {S_ {2}} {\ frac {\ partial \ mathrm {B}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {2} \; \ mathrm {d} S_ {2} }

\, \ phi _ {2} (t + \ Delta t) = \ int _ {{S_ {2}}} {\ mathbf {B}} (t) \ cdot {\ hat {{\ mathbf {n}} }} _ {2} \; {\ mathrm {d}} S _ {{2}} \, + \, \ Delta t \ int _ {{S_ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathrm {B}}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {{\ mathbf {n}}}} _ {2} \; {\ mathrm {d}} S_ {2} = \ phi _ {2} (t) \, + \, \ Delta t \ int _ {{S_ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathrm {B}}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {{\ mathbf {n}}}} _ {2} \; {\ mathrm {d}} S_ {2}

.

Acum putem folosi ecuația divergenței câmpului magnetic ( ecuațiile lui Maxwell ) pentru a exprima diferența $\phi _{2}(t)-\phi _{1}(t)$ ${\ displaystyle \ phi _ {2} (t) - \ phi _ {1} (t)}$ $\ phi _ {2} (t) - \ phi _ {1} (t)$ (evaluat în același timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ) și spuneți că debitul de ieșire de la baza cilindrului trebuie să fie egal cu debitul care intră de la suprafața exterioară a cilindrului mic, de lungime $v\;\Delta t$ ${\ displaystyle v \; \ Delta t}$ $v \; \ Delta t$ :

\,\phi _{2}(t)-\phi _{1}(t)=\Delta t\oint _{1}\mathbf {B} \cdot (\mathbf {v} \times \mathrm {d} \ell )=-\Delta t\oint _{1}(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \ell

{\ displaystyle \, \ phi _ {2} (t) - \ phi _ {1} (t) = \ Delta t \ oint _ {1} \ mathbf {B} \ cdot (\ mathbf {v} \ times \ mathrm {d} \ ell) = - \ Delta t \ oint _ {1} (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot \ mathrm {d} \ ell}

\, \ phi _ {2} (t) - \ phi _ {1} (t) = \ Delta t \ oint _ {{1}} {\ mathbf {B}} \ cdot ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathrm {d}} \ ell) = - \ Delta t \ oint _ {{1}} ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}) \ cdot {\ mathrm {d }} \ ell

.

În acest fel, diferența s-a încheiat $\phi _{2}(t+\Delta t)-\phi _{1}(t)$ ${\ displaystyle \ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ {1} (t)}$ $\ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ {1} (t)$ poate fi exprimat ca:

\,\phi _{2}(t+\Delta t)-\phi _{1}(t)=\phi _{2}(t)-\phi _{1}(t)\,+\,\Delta t\int _{S_{2}}{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial t}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\;\mathrm {d} S_{2}=\Delta t\left(\int _{S_{2}}{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial t}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{2}\;\mathrm {d} S_{2}-\oint _{1}(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \ell \right)

{\ displaystyle \, \ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ {1} (t) = \ phi _ {2} (t) - \ phi _ {1} (t) \, + \, \ Delta t \ int _ {S_ {2}} {\ frac {\ partial \ mathrm {B}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {2} \; \ mathrm {d} S_ {2} = \ Delta t \ left (\ int _ {S_ {2}} {\ frac {\ partial \ mathrm {B}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {2} \; \ mathrm {d} S_ {2} - \ oint _ {1} (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot \ mathrm {d } \ ell \ right)}

\, \ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ {1} (t) = \ phi _ {2} (t) - \ phi _ {1} (t) \, + \, \ Delta t \ int _ {{S_ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathrm {B}}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {{\ mathbf {n}}}} _ {2} \; {\ mathrm {d}} S_ {2} = \ Delta t \ left (\ int _ {{S_ {2}}} {\ frac {\ partial {\ mathrm {B}}} {\ partial t}} \ cdot {\ hat {{\ mathbf {n}}}} _ {2} \; {\ mathrm {d}} S_ {2} - \ oint _ {{1}} ({\ mathbf { v}} \ times {\ mathbf {B}}) \ cdot {\ mathrm {d}} \ ell \ right)

.

În limită $\Delta t\rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0}$ $\ Delta t \ rightarrow 0$ integralele de pe cele două contururi 1 și 2 sunt confuze și apoi:

\,{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\phi _{2}(t+\Delta t)-\phi _{1}(t)}{\Delta t}}=\int _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial t}}-\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\right)\cdot {\hat {\mathbf {n} }}_{1}\mathrm {d} S_{1}

{\ displaystyle \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {\ phi _ {2} (t + \ Delta t) - \ phi _ {1} (t)} {\ Delta t}} = \ int _ {S_ {1}} \ left ({\ frac {\ partial \ mathrm {B}} {\ partial t}} - \ nabla \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ right) \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {1} \ mathrm {d} S_ {1 }}

\, {\ frac {{\ mathrm {d}} \ phi} {{\ mathrm {d}} t}} = \ lim _ {{\ Delta t \ rightarrow 0}} {\ frac {\ phi _ {2 } (t + \ Delta t) - \ phi _ {1} (t)} {\ Delta t}} = \ int _ {{S_ {1}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathrm { B}}} {\ partial t}} - \ nabla \ times ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}) \ right) \ cdot {\ hat {{\ mathbf {n}}} } _ {1} {\ mathrm {d}} S_ {1}

.

În acest moment este ușor să recunoaștem că termenul dintre paranteze în integral este identic nul, pentru ecuația de evoluție a fluxului MHD ideal (a se vedea ecuația (3) din intrarea magnetohidrodinamică ).

Interpretare

Prin urmare, teorema stabilește că liniile câmpului magnetic nu sunt independente de evoluția vitezei fluidului: aceasta este o constrângere foarte restrictivă asupra topologiei liniilor de câmp și limitează foarte mult posibilele configurații ale acestora ^[1] .

Putem înțelege acest lucru foarte simplu gândindu-ne la un fluid conductor cu un câmp magnetic doar într-o singură direcție ${\hat {y}}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}}}$ ${\ hat {y}}$ , $\mathbf {B} =B_{y}{\hat {y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} = B_ {y} {\ hat {y}}}$ ${\ mathbf {B}} = B_ {y} {\ hat {y}}$ , și fără câmp electric. Să presupunem în mod absurd că fluidul este capabil să dezvolte o viteză în direcție ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ , sa spunem $v_{x}$ ${\ displaystyle v_ {x}}$ $v_ {x}$ , care se opune deci câmpului magnetic $B_{y}$ ${\ displaystyle B_ {y}}$ $De}$ . Deci, de atunci $\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} = \ eta \ mathbf {J}}$ ${\ mathbf {E}} + {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} = \ eta {\ mathbf {J}}$ , iar câmpul electric din interiorul fluidului este zero, apare un curent $j_{z}={\frac {v_{x}B_{y}}{\eta }}$ ${\ displaystyle j_ {z} = {\ frac {v_ {x} B_ {y}} {\ eta}}}$ $j_ {z} = {\ frac {v_ {x} B_ {y}} {\ eta}}$ .

Corespunzător acestui curent, apare și o forță Lorentz în direcție ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ , egal cu $F_{x}=-j_{z}B_{y}=-{\frac {v_{x}B_{y}^{2}}{\eta }}$ ${\ displaystyle F_ {x} = - j_ {z} B_ {y} = - {\ frac {v_ {x} B_ {y} ^ {2}} {\ eta}}}$ $F_ {x} = - j_ {z} B_ {y} = - {\ frac {v_ {x} B_ {y} ^ {2}} {\ eta}}$ . Practic, de îndată ce fluidul dezvoltă o viteză care se opune câmpului magnetic, apare o forță care tinde să se opună acestei viteze a fluidului . Această forță divergă pentru $\eta \rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ eta \ rightarrow 0}$ $\ eta \ dreapta 0$ .

Prin urmare, în fluid se formează curenți care tind să înghețe topologia câmpului magnetic (în afară de regiunile în care câmpul magnetic este zero, $B_{y}=0$ ${\ displaystyle B_ {y} = 0}$ $B_ {y} = 0$ în exemplul de mai sus).

Acest lucru evidențiază, de asemenea, importanța rezistivității : chiar și o rezistivitate mică poate face ca liniile câmpului magnetic să se rupă și să se reconecteze într-o topologie diferită. Aceste fenomene sunt cunoscute sub numele de reconectare magnetică și sunt un fenomen foarte important în plasme . Deoarece rezistivitatea este aproape peste tot foarte mici, aceste fenomene vor fi limitate în cadrul regiunilor spațiale foarte mici, numite „straturi rezistive“ (straturi rezistive), în cazul în care acestea pot forma foi subțiri de apeluri curente în limba engleză foi curente .

Exemple

Efectuarea unor fluide în general și plasmelor , în special , prin urmare , sunt asociate cu fenomene magnetice intense: exemple sunt violente eoliene solare emisiile asociate solare facle (care așa-numitele valuri Alfven adesea se propage, perturbațiile de mare viteză , care se propagă de-a lungul liniilor de câmp magnetic solar care transportă energia spre exterior) și fenomenele de perturbare ale telecomunicațiilor legate de aurorele polare, cunoscute sub numele de furtuni geomagnetice . Câmpul magnetic al Pământului în sine este produs de un fluid conducător în mișcare ( nucleul Pământului ).

Notă

^ JP Freidberg, Ideal Magnetohydrodynamics , Plenum Press, New York, 1987, p.50

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] JP Freidberg, Ideal Magnetohydrodynamics , Plenum Press, New York, 1987, p.50

[1]