Teorema lui Perron-Frobenius

Teorema Perron - Frobenius afirmă că, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice non-negativă (adică cu toate elementele mai mari sau egale cu zero) primitivă și ireductibilă atunci

Valoarea proprie a modulului maxim $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este real pozitiv
Este o valoare proprie simplă
Vectorul propriu corespunzător are toate componentele pozitive
Vectorul propriu corespunzător este singurul vector propriu non-negativ al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$
Valoarea proprie a modulului maxim, văzută ca o funcție $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ $\ rho (A)$ a matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este o funcție strict crescătoare în fiecare dintre elementele sale: adică dacă $B\geq A$ ${\ displaystyle B \ geq A}$ ${\ displaystyle B \ geq A}$ (se înțelege că această inegalitate deține element cu element) e $B\neq A$ ${\ displaystyle B \ neq A}$ ${\ displaystyle B \ neq A}$ , asa de $\rho (B)>\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (B)> \ rho (A)}$ ${\ displaystyle \ rho (B)> \ rho (A)}$

Teorema Perron-Frobenius este un rezultat destul de puternic, dar elementar, al algebrei liniare, care nu este de obicei văzut în cursurile timpurii. O aplicație a acestuia este, de exemplu, asigurarea existenței unor măsuri invariante pentru lanțurile finite Markov .

Istorie

Teorema a fost enunțată de Perron la începutul secolului al XX-lea și dovedită de acesta în cazul particular în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are toate elementele pozitive; a fost apoi extins de Frobenius la cazul raportat aici și la cazuri mai complexe de matrice care trimit un con de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ in sinea lui. Wielandt a găsit apoi o dovadă deosebit de scurtă și elegantă a teoremei.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică