Teorema lui Tijdeman

În teoria numerelor , teorema lui Tijdeman afirmă că există cel mult un număr finit de perechi consecutive de putere. Cu alte cuvinte, setul de soluții din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a ecuației diofantine exponențiale

y^{m}=x^{n}+1

{\ displaystyle y ^ {m} = x ^ {n} +1}

y ^ {m} = x ^ {n} +1

,

cu exponenții n și m mai mari decât 1, este finit.

Teorema a fost dovedită de teoreticianul numeric olandez Robert Tijdeman în 1976 și a oferit un mare impuls pentru căutarea unei dovezi a conjecturii catalane , care s-a încheiat cu Preda Mihăilescu . Teorema lui Mihăilescu afirmă că există o singură soluție și anume $3^{2}=2^{3}+1$ ${\ displaystyle 3 ^ {2} = 2 ^ {3} +1}$ $3 ^ {2} = 2 ^ {3} +1$ .

Condiția ca puterile să fie consecutive este esențială pentru dovada lui Tijdeman; problema mai generală a determinării numărului de soluții ale

y^{m}=x^{n}+k

{\ displaystyle y ^ {m} = x ^ {n} + k}

y ^ {m} = x ^ {n} + k

,

cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ mai mare de 1 și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ întreg pozitiv, este încă nerezolvat. Se presupune că numărul de soluții este finit pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ; de exemplu, finitudinea sa ar fi o consecință a conjecturii abc .

Bibliografie

Robert Tijdeman, Despre ecuația catalanii , Acta Arithmetica 29 (1976), pp. 197-209.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică