Teorema lui Mihăilescu

În teoria numerelor , teorema lui Mihăilescu este soluția unei probleme numite anterior conjectura lui Catalan, deoarece a fost propusă de matematicianul Eugène Charles Catalan în 1844 . Conjectura a fost dovedită în aprilie 2002 de matematicianul român Preda Mihăilescu , prin urmare astăzi reprezintă o teoremă .

Pentru a înțelege problema, observați că 2 ³ = 8 și 3 ² = 9 sunt două puteri consecutive ale numerelor naturale . Teorema lui Mihăilescu afirmă că acesta este singurul caz din două puteri consecutive.

Cu alte cuvinte, teorema afirmă că singura soluție a ecuației diofantine :

x^{a}-y^{b}=1

{\ displaystyle x ^ {a} -y ^ {b} = 1}

x ^ {a} -y ^ {b} = 1

pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $b>1$ ${\ displaystyle b> 1}$ $b> 1$ este $x=3$ ${\ displaystyle x = 3}$ $x = 3$ , $a=2$ ${\ displaystyle a = 2}$ $a = 2$ , $y=2$ ${\ displaystyle y = 2}$ $y = 2$ , $b=3$ ${\ displaystyle b = 3}$ $b = 3$ .

Deși o soluție este dată de $x=b=3$ ${\ displaystyle x = b = 3}$ $x = b = 3$ Și $y=a=2$ ${\ displaystyle y = a = 2}$ $y = a = 2$ , fii atent că ecuația:

x^{y}-y^{x}=1

{\ displaystyle x ^ {y} -y ^ {x} = 1}

x ^ {y} -y ^ {x} = 1

nu este ecuația conjecturii catalane; chiar și un caz în care numerele nu au fost repetate ar fi un contraexemplu al conjecturii.

Chiar înainte ca catalanul să propună problema, Euler a demonstrat-o deja cu aproximativ un secol înainte:

x^{2}-y^{3}=\pm 1

{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {3} = \ pm 1}

x ^ {2} -y ^ {3} = \ pm 1

are ca unice soluții $x=3$ ${\ displaystyle x = 3}$ $x = 3$ , $y=2$ ${\ displaystyle y = 2}$ $y = 2$ .

Câțiva ani mai târziu, VA Lebesgue a dovedit că ecuația $x^{a}-y^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {a} -y ^ {2} = 1}$ $x ^ {a} -y ^ {2} = 1$ nu are nicio soluție pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , la , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ numere întregi și $a>1$ ${\ displaystyle a> 1}$ $a> 1$ . În 1965 Ke Zhao a dovedit că ecuația $x^{2}-y^{b}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {b} = 1}$ $x ^ {2} -y ^ {b} = 1$ este imposibil în numerele întregi pozitive, cu excepția soluției simple $3^{2}-2^{3}=1$ ${\ displaystyle 3 ^ {2} -2 ^ {3} = 1}$ $3 ^ {2} -2 ^ {3} = 1$ . Combinarea acestor două rezultate a făcut posibilă reducerea problemei la cazul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere prime impare. Alți pași importanți înainte au fost făcuți de Cassels, Tijdeman (vezi teorema lui Tijdeman) și Inkeri.

Conjectura lui Catalan a fost dovedită în cele din urmă de Preda Mihăilescu în aprilie 2002 , după ce a făcut progrese importante încă din 1999 . Dovada a fost verificată de Yuri Bilu și a fost publicată în 2004 în Journal für die reine und angewandte Mathematik . Folosește pe scară largă teoria ciclotomică a câmpului și modulele Galois .

Bibliografie

P. Mihăilescu, Unități ciclotomice primare și o dovadă a conjecturii catalane , J. reine angew. Matematica. 572 (2004), 167-195.

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) MathTrek de Ivars Peterson pe maa.org. Adus la 4 mai 2019 (depus de „url original 16 iulie 2012).
( EN ) Metsänkylä, Tauno (2003). Conjectura catalană: o altă veche problemă diofantină rezolvată , Bull. (Noul Ser.) Amer. Matematica. Soc. 41 (1), 43-57.
(EN) Jeanine Daems: O dovadă CICLOTOMICĂ a Conjeturii catalane

Controlul autorității	GND (DE) 4369060-9 · BNF (FR) cb144299323 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică