Teorema lui Viviani

Pentru fiecare (interior) punctul P al unui triunghi echilateral, suma distanțelor sale din cele trei laturi s + u + t este constantă și egală cu înălțimea triunghiului.

Teorema lui Viviani, o euclidiană geometrie teorema , prevede că suma celor trei distanțe față de laturile orice punct al unui triunghi echilateral este constantă și egală cu înălțimea triunghiului ^[1] ^[2] ^[3] . Acesta ia numele de matematicianul italian Vincenzo Viviani (1622-1703) , care sa dovedit a fi.

Demonstrație

Dovada se bazează pe faptul că aria triunghiului este dat de regula de bază pentru înălțimea împărțită la doi.

Fie ABC un triunghi echilateral de înălțime h și laterală a.

Fie P un punct interior al triunghiului, și u, s, t distanțele de la P la laturile sale respective. Segmentele care din P se întâlnesc nodurile A, B și C, diviza triunghiul ABC în trei triunghiuri PAB, PBC si PCA. Deoarece triunghiul este echilateral, bazele lor respective sunt egale (și constantă) la partea A a ABC triunghi.

Cele trei domenii respective sunt ${\frac {u\cdot a}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {u \ cdot a} {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {u \ cdot a} {2}}}$ , ${\frac {s\cdot a}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {s \ cdot a} {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {s \ cdot a} {2}}}$ , și ${\frac {t\cdot a}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {t \ cdot a} {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {t \ cdot a} {2}}}$ . suma lor dă aria triunghiului. Prin urmare:

{\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}

{\ Displaystyle {\ frac {u \ cdot a} {2}} + {\ frac {s \ cdot a} {2}} + {\ frac {t \ cdot a} {2}} = {\ frac {h \ cdot a} {2}}}

{\ Displaystyle {\ frac {u \ cdot a} {2}} + {\ frac {s \ cdot a} {2}} + {\ frac {t \ cdot a} {2}} = {\ frac {h \ cdot a} {2}}}

prin urmare

u + s + t = h.

QED

Notă

^ O dovadă a teoremei a fost propusă de matematician Vincenzo Viviani în 1659.
^ (EN) Elias Abboud, teorema lui Viviani și extensiile sale în Colegiul matematică Journal, vol. 43, nr. 3, 2010, pp. 203-211, DOI : 10.4169 / 074683410X488683 .
^ Prin extensie această proprietate a sumei constante a distanțelor de un punct de figura geometrică din laturile aparține tuturor poligoane regulate, poligoane echilateral, poligoane equiangular și poligoane cu laturile opuse paralele.

Bibliografie

(RO) Elias Abboud, teorema lui Viviani și extensiile sale , în Colegiul Matematica Journal, vol. 43, nr. 3, 2010, pp. 203-211, DOI : 10.4169 / 074683410X488683 , arXiv : 0903.0753 .
(RO) C. Alsina și Roger B. Nelsen, Charming Demonstratii: o călătorie în matematică elegante, cărți Google, 2010, p. 96, ISBN 978-0-88385-348-1 .
(EN) Ken-Ichiroh Kawasaki, Yoshihiro Yagi, Katsuya Yanagawa: teorema lui Viviani în trei dimensiuni. In: Monitorul matematică, Vol 89, No. 515, S. 283-287 (. (Iulie 2005). JSTOR 3621243 )
(RO) Hans Samelson: Dovada fără cuvinte: Teorema lui Viviani cu vectori. In:. (. Iunie, 2003) Matematică Revista, Vol 76, No. 3, p . 225 ( JSTOR 3219327 )

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de pe Teorema lui Viviani

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, Teorema lui Viviani , în mathworld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] O dovadă a teoremei a fost propusă de matematician Vincenzo Viviani în 1659.

[2] (EN) Elias Abboud, teorema lui Viviani și extensiile sale în Colegiul matematică Journal, vol. 43, nr. 3, 2010, pp. 203-211, DOI : 10.4169 / 074683410X488683 .

[3] Prin extensie această proprietate a sumei constante a distanțelor de un punct de figura geometrică din laturile aparține tuturor poligoane regulate, poligoane echilateral, poligoane equiangular și poligoane cu laturile opuse paralele.

[1]

[2]

[3]