Distribuția în pătrat T a lui Hotelling

Distribuția Hotelling T-square (numită după Harold Hotelling ) este o generalizare a distribuției Student t folosită în testele de ipoteză multivariate.

Definiție

Statistica pătratului T a lui Hotelling este definită după cum urmează:

Lasa-i sa fie

{\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}

{\ displaystyle {\ mathbf {x}} _ {1}, \ dots, {\ mathbf {x}} _ {n}}

{\ displaystyle {\ mathbf {x}} _ {1}, \ dots, {\ mathbf {x}} _ {n}}

p × 1 vectori de coloane cu numere reale e

{\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {x}}} = (\ mathbf {x} _ {1} + \ cdots + \ mathbf {x} _ {n}) / n}

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {x}}} = (\ mathbf {x} _ {1} + \ cdots + \ mathbf {x} _ {n}) / n}

mediile lor. Este

{\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)

{\ displaystyle {\ mathbf {W}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {x} _ {i} - {\ overline {\ mathbf {x}}}) (\ mathbf { x} _ {i} - {\ overline {\ mathbf {x}}}) '/ (n-1)}

{\ displaystyle {\ mathbf {W}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {x} _ {i} - {\ overline {\ mathbf {x}}}) (\ mathbf { x} _ {i} - {\ overline {\ mathbf {x}}}) '/ (n-1)}

matricea non-negativă dată de varianța lor (transpunerea unei matrice $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este indicat ca com ${M.}^{'}$ ${\ displaystyle M '}$ $M '$ ).

Fie μ un vector coloană $p\times 1$ ${\ displaystyle p \ times 1}$ ${\ displaystyle p \ times 1}$ cunoscut (în aplicarea valorilor medii asumate pentru populație). Statistica pătratului T a lui Hotelling este dată de

T^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).

{\ displaystyle T ^ {2} = ({\ overline {\ mathbf {x}}} - {\ mathbf {\ mu}}) '{\ mathbf {W}} ^ {- 1} ({\ overline {\ mathbf {x}}} - {\ mathbf {\ mu}}).}

{\ displaystyle T ^ {2} = ({\ overline {\ mathbf {x}}} - {\ mathbf {\ mu}}) '{\ mathbf {W}} ^ {- 1} ({\ overline {\ mathbf {x}}} - {\ mathbf {\ mu}}).}

Rezultate teoretice

De sine $\mathbf {x} \sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ sim N_ {p} (\ mu, {\ mathbf {V}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ sim N_ {p} (\ mu, {\ mathbf {V}})}$ este o variabilă aleatorie cu o distribuție normală multivariată, ${\mathbf {Q} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })$ ${\ displaystyle {\ mathbf {Q}} \ sim W_ {p} (m, {\ mathbf {V}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {Q}} \ sim W_ {p} (m, {\ mathbf {V}})}$ este distribuit ca o variabilă aleatorie Wishart , și așa să fie ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ acea ${\mathbf {Q} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {Q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {Q}}}$ sunt independenți atunci $T^{2}$ ${\ displaystyle T ^ {2}}$ ${\ displaystyle T ^ {2}}$ este distribuit ca o variabilă aleatorie T-pătrat Hotelling.

Se poate arăta că dacă ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}} _ {1}, \ dots, {\ mathbf {x}} _ {n} \ sim N_ {p} (\ mu, {\ mathbf {V}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}} _ {1}, \ dots, {\ mathbf {x}} _ {n} \ sim N_ {p} (\ mu, {\ mathbf {V}})}$ , sunt independenți și amândoi ${\overline {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {x}}}}$ acea ${\mathbf {W} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {W}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {W}}}$ sunt definite ca mai sus atunci ${\mathbf {W} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {W}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {W}}}$ este distribuit ca o variabilă aleatorie Wishart cu $m=n-1$ ${\ displaystyle m = n-1}$ ${\ displaystyle m = n-1}$ grade de libertate și este independent de ${\overline {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {x}}}}$ Și