Amortizare în rate anticipate

Element principal: amortizare .

Amortizarea în rate anticipate prevede că plata fiecărei rate (presupunând că ratele sunt echidistante și n este numărul de perioade prevăzute pentru amortizare ) se plătește la începutul perioadei corespunzătoare ratei (lunar, trimestrial, anual).

Fie k = 0, 1, 2, ..., n -1 una dintre cele n perioade, avem cota din tranșă $R_{k}$ ${\ displaystyle R_ {k}}$ ${\ displaystyle R_ {k}}$ în perioada k este egal cu suma unei cote de dobândă $I_{k}$ ${\ displaystyle I_ {k}}$ ${\ displaystyle I_ {k}}$ și o cotă de capital $C_{k}$ ${\ displaystyle C_ {k}}$ $C_ {k}$ :

$R_{k}=C_{k}+I_{k}$ ${\ displaystyle R_ {k} = C_ {k} + I_ {k}}$ ${\ displaystyle R_ {k} = C_ {k} + I_ {k}}$

in timp ce

$R_{n}=0$ ${\ displaystyle R_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle R_ {n} = 0}$ .

Pentru actualizarea ratelor trebuie respectată constrângerea echivalenței financiare:

$S=\sum _{k=0}^{n-1}R_{k}(1+i)^{-k}$ ${\ displaystyle S = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} R_ {k} (1 + i) ^ {- k}}$ ${\ displaystyle S = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} R_ {k} (1 + i) ^ {- k}}$

Este o practică financiară evaluarea datoriei reziduale imediat înainte de ratele datorate. Deci, k să fie perioada luată în considerare și $D_{k}^{-}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-}}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-}}$ datoria reziduală evaluată imediat înainte de începerea acestei perioade este:

$D_{k}^{-}=\sum _{j=k}^{n-1}C_{j}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = \ sum _ {j = k} ^ {n-1} C_ {j}}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = \ sum _ {j = k} ^ {n-1} C_ {j}}$ pentru k = 0, 1, 2, ..., n -1

$D_{k}^{-}=0$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = 0}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = 0}$ pentru k = n

sau (scrierea datoriei în funcție de întreaga sumă S ):

$D_{k}^{-}=S$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = S}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = S}$ pentru k = 0

$D_{k}^{-}=S-\sum _{j=0}^{k-1}C_{j}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = S- \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} C_ {j}}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = S- \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} C_ {j}}$ pentru k = 1, 2, ..., n -1

$D_{k}^{-}=0$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = 0}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = 0}$ pentru k = n

Rețineți că $D_{k}^{-}=D_{k-1}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = D_ {k-1}}$ ${\ displaystyle D_ {k} ^ {-} = D_ {k-1}}$ adică datoria reziduală calculată imediat înainte de plata ratei datorate în perioada k coincide cu datoria reziduală calculată imediat după plata ratei datorate în perioada k-1 .

Rezultă că imediat înainte de acordarea împrumutului există $D_{0}^{-}=S$ ${\ displaystyle D_ {0} ^ {-} = S}$ ${\ displaystyle D_ {0} ^ {-} = S}$ , în consecință, la începutul împrumutului ( $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ ) suma primită de debitor este deja dedusă din prima tranșă, prin urmare debitorul primește o sumă egală cu $S-R_{0}$ ${\ displaystyle S-R_ {0}}$ ${\ displaystyle S-R_ {0}}$ .

Porțiunea de dobândă plătită în fiecare perioadă k se referă la dobânda aferentă perioadei [ k , k +1] și este proporțională cu datoria reziduală a perioadei $D_{k}$ ${\ displaystyle D_ {k}}$ ${\ displaystyle D_ {k}}$ (care coincide cu $D_{k+1}^{-}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-}}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-}}$ ).

$I_{k}=D_{k}i(1+i)^{-1}=dD_{k}=dD_{k+1}^{-}$ ${\ displaystyle I_ {k} = D_ {k} i (1 + i) ^ {- 1} = dD_ {k} = dD_ {k + 1} ^ {-}}$ ${\ displaystyle I_ {k} = D_ {k} i (1 + i) ^ {- 1} = dD_ {k} = dD_ {k + 1} ^ {-}}$ cu $d=i/(i+1)$ ${\ displaystyle d = i / (i + 1)}$ ${\ displaystyle d = i / (i + 1)}$ Și $k=0,1,2,...,n-1$ ${\ displaystyle k = 0,1,2, ..., n-1}$ ${\ displaystyle k = 0,1,2, ..., n-1}$

Luând în considerare următoarele trei ecuații (deja definite mai sus):

$D_{k+1}^{-}=D_{k}^{-}-C_{k}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-} = D_ {k} ^ {-} - C_ {k}}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-} = D_ {k} ^ {-} - C_ {k}}$

$I_{k}=dD_{k+1}^{-}$ ${\ displaystyle I_ {k} = dD_ {k + 1} ^ {-}}$ ${\ displaystyle I_ {k} = dD_ {k + 1} ^ {-}}$

$R_{k}=C_{k}+I_{k}$ ${\ displaystyle R_ {k} = C_ {k} + I_ {k}}$ ${\ displaystyle R_ {k} = C_ {k} + I_ {k}}$

datoriile și ratele reziduale pot fi corelate după cum urmează:

$D_{k+1}^{-}=D_{k}^{-}-C_{k}=D_{k}^{-}-R_{k}+I_{k}=D_{k}^{-}-R_{k}+dD_{k+1}^{-}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-} = D_ {k} ^ {-} - C_ {k} = D_ {k} ^ {-} - R_ {k} + I_ {k} = D_ {k } ^ {-} - R_ {k} + dD_ {k + 1} ^ {-}}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-} = D_ {k} ^ {-} - C_ {k} = D_ {k} ^ {-} - R_ {k} + I_ {k} = D_ {k } ^ {-} - R_ {k} + dD_ {k + 1} ^ {-}}$

din care se obține

$D_{k+1}^{-}(1-d)=D_{k}^{-}-R_{k}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-} (1-d) = D_ {k} ^ {-} - R_ {k}}$ ${\ displaystyle D_ {k + 1} ^ {-} (1-d) = D_ {k} ^ {-} - R_ {k}}$

având în vedere 1 - d = 1 - i / ( 1 + i) = 1 / (1+ i ) = v , avem relația dorită:

$R_{k}=D_{k}^{-}-vD_{k+1}^{-}$ ${\ displaystyle R_ {k} = D_ {k} ^ {-} - vD_ {k + 1} ^ {-}}$ ${\ displaystyle R_ {k} = D_ {k} ^ {-} - vD_ {k + 1} ^ {-}}$ .

Elemente conexe

Compania Portal : acces la intrările Wikipedia se ocupă cu companii