Axioma întregii puteri

În matematică , axioma setului de puteri este una dintre axiomele teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel .

În limbajul formal al axiomelor Zermelo-Fraenkel, axioma este scrisă:

\forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall B:B\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall C:C\in B\implies C\in A)

{\ displaystyle \ forall A, \ exists \; {{\ mathcal {P}} (A)}, \ forall B: B \ in {{\ mathcal {P}} (A)} \ iff (\ forall C: C \ in B \ implică C \ in A)}

{\ displaystyle \ forall A, \ exists \; {{\ mathcal {P}} (A)}, \ forall B: B \ in {{\ mathcal {P}} (A)} \ iff (\ forall C: C \ in B \ implică C \ in A)}

Sau în cuvinte:

Dat fiind un set generic A , există un set

{\mathcal {P}}(A)

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}

{\ mathcal {P}} (A)

astfel încât, având în vedere un set generic B , B este un element al

{\mathcal {P}}(A)

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}

{\ mathcal {P}} (A)

dacă și numai dacă B este un subset al lui A.

Pentru axioma extensionalității, acest set este unic. Numim întregul ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal {P}} (A)$ împreună puterea lui A. Uneori acest set este indicat de simbol ${\mathfrak {P}}(E)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}} (E)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}} (E)}$ . Deci, esența axiomei este:

Fiecare set corespunde unui set de putere.

Axioma setului de putere este în general considerată necontestată și apare sub această formă sau într-o formă echivalentă în aproape toate axiomatizările alternative ale teoriei mulțimilor.