Axioma regularității

În teoria mulțimilor , axioma regularității (cunoscută și sub numele de axioma validității sau axioma fundamentului ) este una dintre axiomele teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel .

În limbajul formal al axiomelor Zermelo-Fraenkel, axioma este scrisă:

\forall A:A\neq \{\}\Rightarrow \exists B:B\in A\land \lnot \exists C:C\in A\land C\in B

{\ displaystyle \ forall A: A \ neq \ {\} \ Rightarrow \ există B: B \ în A \ land \ lnot \ există C: C \ în A \ land C \ în B}

{\ displaystyle \ forall A: A \ neq \ {\} \ Rightarrow \ există B: B \ în A \ land \ lnot \ există C: C \ în A \ land C \ în B}

Sau în cuvinte:

Fiecare set nu este gol A conține un element B disjunct de la A.

Două rezultate care decurg din axiomă sunt „nici un set nu este un element în sine” și „nu există o secvență infinită ( a _n ) astfel încât un _{i + 1 să} fie un element al unui _i pentru tot i ”.

Împreună cu axioma de alegere , acest rezultat poate fi inversat: dacă nu există secvențe infinite de acest tip, atunci axioma de regularitate este adevărată. Deci cele două afirmații sunt echivalente.

Există teorii ale mulțimilor nestandardizate care, pe lângă omiterea axiomei regularității, au postulat chiar existența unor mulțimi care sunt elemente ale lor .

Mai mult, ^[1] , toate rezultatele matematicii obișnuite continuă să fie valabile chiar și în absența acestei axiome, atâta timp cât sunt limitate doar la seturi bine întemeiate.

Implicații elementare

Axioma regularității implică faptul că nici un set nu este un element din sine

Fie A un set astfel încât A să fie un element în sine și să definească mulțimea B = { A }, care există prin axioma perechii . Aplicând axioma regularității la B , vedem că singurul element al lui B , și anume A , trebuie să fie disjunct de la B. Dar intersecția dintre A și B este doar A. Deci B nu satisface axioma regularității și avem o contradicție, demonstrând că A nu poate exista.

Axioma regularității implică faptul că nu există o succesiune infinită descendentă de mulțimi.

Fie f o funcție a numerelor naturale astfel încât f ( n +1) este un element al lui f ( n ) pentru toți n . Definim S = { f ( n ): n număr natural} ca imaginea lui f , care poate fi văzută ca un set din definiția formală a funcției. Aplicând axioma regularității la S , f ( k ) să fie un element al lui S disjunct de la S. Dar prin definiția lui f și S , f ( k ) și S au un element comun (adică f ( k +1)). Avem o contradicție, deci nu există astfel de f .

Presupunând axioma alegerii, absența unor secvențe descendente infinite implică axioma regularității

Fie mulțimea ne-goală S un contraexemplu al axiomei regularității; adică fiecare element s al lui S are o intersecție neocupată cu S. Fie T un set care are ca membri S și, pentru fiecare element s al lui S , intersecția dintre acest element și S. Fie g o funcție de alegere pentru T , adică o aplicație astfel încât g ( t ) să fie un element al lui t pentru fiecare set t aparținând lui T. Acum să definim recursiv funcția f pe numere întregi care nu sunt negative, după cum urmează:

f(0)=g(S)

{\ displaystyle f (0) = g (S)}

{\ displaystyle f (0) = g (S)}

f(n+1)=g(f(n)\cap S).

{\ displaystyle f (n + 1) = g (f (n) \ cap S).}

{\ displaystyle f (n + 1) = g (f (n) \ cap S).}

Apoi pentru fiecare n , f ( n ) este un element al lui T și, de asemenea, al lui S , astfel încât intersecția lui f ( n ) cu S este neocupată, deci f ( n +1) este bine definit și este un element al lui f ( n ). Atunci valorile lui f formează un lanț descendent infinit. Aceasta este o contradicție, deci nu există un astfel de S.

Notă

^ K. Kunen, Teoria seturilor ( PDF ), 1980, pp. 100-101.

linkuri externe

( EN ) Set Theory Handout Arhivat 18 noiembrie 2002 la Internet Archive . conține o descriere informativă a axiomei regularității, în secțiunea teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] K. Kunen, Teoria seturilor ( PDF ), 1980, pp. 100-101.

[1]