Axioma cuplului

În teoria mulțimilor, axioma perechii este una dintre axiomele teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel .

În limbajul formal al axiomelor Zermelo-Frankel, axioma este scrisă:

\forall A,\forall B,\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A\lor D=B)

{\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ există C, \ forall D: D \ în C \ iff (D = A \ lor D = B)}

{\ displaystyle \ forall A, \ forall B, \ există C, \ forall D: D \ în C \ iff (D = A \ lor D = B)}

sau în cuvinte:

Având în vedere o mulțime generică A și dată o mulțime generică B , există o mulțime C astfel încât, având în vedere o mulțime generică D , D este un element al lui C dacă și numai dacă D este egal cu A sau D este egal cu B.

Ceea ce spune practic axioma este că, având în vedere două mulțimi A și B , putem găsi o mulțime C ale cărei elemente sunt exact A și B. Putem folosi axioma extensionalității pentru a arăta că acest set C este unic. Numim acest set o pereche de A și B și îl notăm cu { A , B }. Deci, esența axiomei este:

Pentru fiecare grup de două seturi avem o pereche.

{ A , A } este abreviată în { A } și este definită ca singletonul care conține A. Rețineți că un singleton este un caz special al unei perechi.

Axioma perechii permite și definirea perechilor ordonate. Pentru fiecare set $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , perechea ordonată este definită după cum urmează:

(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.

{\ displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}.}

{\ displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}.}

Rețineți că această definiție satisface definiția

(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.

{\ displaystyle (a, b) = (c, d) \ if a = c \ land b = d.}

{\ displaystyle (a, b) = (c, d) \ if a = c \ land b = d.}

N -tuplurile pot fi definite recursiv după cum urmează:

(a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).

{\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}), a_ {n}).}

{\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}), a_ {n}).}

Axioma perechii este în general considerată necontestată și apare sub această formă sau într-o formă echivalentă în aproape toate axiomatizările alternative ale teoriei mulțimilor. Cu toate acestea, în formularea standard a teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel , axioma cuplului rezultă din axioma setului de putere și din schema de înlocuire , deci uneori este omisă.

Generalizare

Împreună cu axioma setului gol , axioma perechii poate fi generalizată în următoarea afirmație:

\forall A_{1},\ldots ,\forall A_{n},\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})

{\ displaystyle \ forall A_ {1}, \ ldots, \ forall A_ {n}, \ există C, \ forall D: D \ in C \ iff (D = A_ {1} \ lor \ cdots \ lor D = A_ {n})}

{\ displaystyle \ forall A_ {1}, \ ldots, \ forall A_ {n}, \ există C, \ forall D: D \ in C \ iff (D = A_ {1} \ lor \ cdots \ lor D = A_ {n})}

acesta este:

Având în vedere orice număr finit de mulțimi A ₁ , ..., A _n , există o mulțime C ale cărei elemente sunt exact A ₁ , ..., A _n .

Acest set C este încă unic pentru axioma extensionalității și este notat cu { A ₁ ..., A _n }.

Desigur, nu ne putem referi strict la un număr finit de mulțimi fără a avea în mâinile noastre o mulțime (finită) căreia îi aparțin mulțimile în cauză. Deci, aceasta nu este o singură afirmație, ci un model , cu o afirmație separată pentru fiecare număr natural n .

Cazul n = 1 este axioma perechii cu A = A ₁ și B = A ₁ .
Cazul n = 2 este axioma perechii cu A = A ₁ și B = A ₂ .
Cazurile n > 2 pot fi dovedite folosind axioma cuplului și axioma uniunii de mai multe ori.

De exemplu, pentru a demonstra cazul n = 3, folosim axioma perechii de trei ori, pentru a produce perechea { A ₁ , A ₂ }, singletonul { A ₃ } și, în final, perechea {{ A ₁ , A ₂ }, { A ₃ }}. Axioma uniunii produce apoi rezultatul dorit, { A ₁ , A ₂ , A ₃ }. Putem extinde această schemă pentru a include n = 0 dacă interpretăm acest caz ca axioma setului gol .

Astfel, această schemă poate fi utilizată ca schemă de axiome în locul axiomelor mulțimii goale și ale perechii. Cu toate acestea, în general, se folosesc separat axiomele mulțimii goale și ale perechii și apoi se dovedește acest lucru ca o schemă de teoreme . Rețineți că adoptarea acestei scheme de axiome nu înlocuiește axioma uniunii , care se dovedește a fi necesară în alte situații.

linkuri externe

( EN ) Axioma cuplului , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică