Schema axiomelor de înlocuire
Această intrare sau secțiune pe matematică nu citează sursele necesare sau cele prezente sunt insuficiente. |
În teoria mulțimilor , schema axiomelor de înlocuire este o schemă a axiomelor din teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel .
Fie P o relație generică cu două variabile care nu folosește simbolul B. Apoi, în limbajul formal al axiomelor Zermelo-Fraenkel, se scrie schema axiomelor:
sau în cuvinte:
- Dacă, având în vedere un set generic X , există un set unic Y astfel încât P să fie valabil pentru X și Y , atunci, având în vedere un set generic A , există un set B astfel încât, având în vedere un set generic C , C este un element al B dacă și numai dacă există o mulțime D astfel încât D este un element al lui A și P, este valabil pentru D și C.
Rețineți că există o axiomă pentru fiecare predicat P de acel tip; deci acesta este un model de axiome .
Pentru a înțelege această axiomă, rețineți mai întâi că clauza din primul set de paranteze este exact cea necesară pentru construirea unui predicat funcțional F într-o variabilă astfel încât F ( X ) = Y dacă și numai dacă P ( X , Y ) . De fapt, dacă se formalizează limbajul de prim ordin în așa fel încât să se admită utilizarea predicatelor funcționale derivate în schemele de axiome, atunci schema de axiome poate fi rescrisă ca:
pentru fiecare predicat funcțional derivat F într-o variabilă; sau în cuvinte:
- Având în vedere o mulțime generică A , există o mulțime B astfel încât, având în vedere o mulțime generică C , C este un element al lui B și dacă există doar o mulțime D astfel încât D este un element al lui A și C este egal cu valoarea de F în D.
Rețineți că clauza parantezată din această reformulare (echivalentă cu a doua clauză paranteză a expresiei inițiale) afirmă pur și simplu că C este valoarea lui F pentru un element D al lui A. Deci, ceea ce spune schema axiomelor este că, având în vedere o mulțime A , putem găsi o mulțime B ale cărei elemente sunt tocmai valorile lui F peste elementele lui A.
Putem folosi axioma extensionalității pentru a arăta că acest set B este unic. Noi numim set B imaginea lui A cu F, și noi notăm cu F (A) sau (folosind o formă de reprezentare prin caracteristica ) {F (D): D ∈ A}.
Deci, esența axiomei este:
- Imaginea unui set folosind o aplicație este un set.
Istorie și filozofie
Majoritatea aplicațiilor în care înlocuirea poate fi utilizată naiv nu necesită de fapt axioma. De exemplu, f să fie o funcție de la o mulțime S la o mulțime T. Atunci putem construi un predicat funcțional F astfel încât F ( x ) = f ( x ) ori de câte ori x este un element al lui S , lăsând F ( x ) să ia orice valoare în celelalte cazuri (nu este important în acest caz). Apoi, având în vedere un subset A de S , aplicând schema axiomului de înlocuire F obținem imaginea f ( A ) a subsetului A prin intermediul funcției f ; și acesta este tocmai F ( A ). Cu toate acestea, înlocuirea nu este necesară în acest caz, deoarece f ( A ) este un subset al lui T , deci putem construi imaginea acestuia, folosind schema axiomului de specificații , cum ar fi setul { y în T : pentru unele x în A , y = f ( x )}. În general, specificația este suficientă atunci când valorile lui F pe elementele lui A aparțin unui set dat T construit anterior; înlocuirea este necesară numai atunci când un astfel de T nu este deja disponibil.
Potrivit unor matematicieni, este de preferat să se aplice specificația pe un set precum T , deoarece specificația este logic mai slabă decât înlocuirea (așa cum se explică în secțiunea următoare). În realitate, înlocuirea nu este necesară în matematica obișnuită și servește doar anumite rezultate ale teoriei axiomatice a mulțimilor . De exemplu, înlocuirea este necesară pentru a construi ordinalul von Neumann de la ω 2 încoace, iar ordinalii von Neumann servesc în unele domenii ale teoriei mulțimilor. Cu toate acestea, înlocuirea nu este necesară pentru construirea ordinalelor utilizate în teoria bine stabilită a mulțimilor. Unii matematicieni care lucrează la fundamentele matematicii , în special cei care se concentrează pe teoria tipurilor, consideră că această axiomă nu este necesară în niciun caz și, prin urmare, nu o includ în fundamentele lor. Înlocuirea este dificil de exprimat în fundațiile construite pe teoria toposului , prin urmare, este adesea trecută cu vederea. Cu toate acestea, înlocuirea nu este controversată în sensul că unii consideră consecințele ei neapărat false (un sens în care axioma alegerii , de exemplu, este controversată); este pur și simplu considerat de prisos .
Schema de axiome de înlocuire nu a făcut parte din Ernst Zermelo lui 1908 set teoria axiomatizarea (Z); introducerea sa de către Adolf Fraenkel în 1922 este ceea ce face ca teoria modernă a mulțimilor să fie Zermelo- Fraenkel ( ZF ). Axioma a fost descoperită independent de Thoralf Skolem mai târziu în același an și este de fapt versiunea finală a listei de axiome a lui Skolem cea utilizată astăzi - dar, în general, nu i se acordă credit deoarece fiecare axiomă a fost dezvoltată anterior. De la Zermelo sau de la Fraenkel. Includerea înlocuirii face o mare diferență din punctul de vedere al teoriei dovezilor : adăugarea acestei scheme la axiomele lui Zermelo face acest sistem din punct de vedere logic mult mai puternic, permițând dovada multor afirmații. În special, în ZF este posibil să se demonstreze coerența lui Z prin construirea universului von Neumann V ω2 ca model . (Desigur, a doua teoremă de incompletitudine a lui Gödel arată că niciuna dintre aceste teorii nu își poate dovedi consistența.)
Relația cu schema de axiomă a specificațiilor
Schema de axiomă a specificațiilor poate fi derivată aproape complet din schema de axiomă de înlocuire. Vezi relația cu schema de axiome de înlocuire în articolul Schema de axiome a specificațiilor .
Din acest motiv, schema axiomelor de separare este adesea omisă în listele moderne ale axiomelor Zermelo-Fraenkel. Cu toate acestea, este încă important din motive istorice și pentru comparații cu axiomatizările alternative ale teoriei mulțimilor. De exemplu, derivarea schemei de axiomă a specificației exploateazăprincipiul terțului exclus și, prin urmare, specificația nu poate fi omisă într-o teorie de mulțimi intuiționistă .
linkuri externe
- ( EN ) Schema axiomelor de înlocuire , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
