Astroid

Construcția astroidului.

În matematică, un astroid este un hipocicloid cu patru cuspide . Figura reamintește imaginea unei stele strălucitoare, de unde și numele de origine greacă, care înseamnă stea. Astroidul mai este numit tetracuspid , cubocicloid sau paraciclu .

Ecuații

Astroidul ca un plic de elipse.

Astroidul ca un plic de segmente de lungime atribuită care se mișcă cu capetele constrânse să se deplaseze pe jumătatea axelor sistemului de referință așa cum se arată în animație.

Cubocicloidul, deoarece hipocicloidul este generat de rotația unei circumferințe de rază b în una dintre razele a, cu a / b = 4 sau a / b = 4/3. De exemplu, dacă un cerc de rază 1 se rotește în interiorul unui cerc de rază 4, a / b = 4 și ecuația sa parametrică este:

x=3\cos \phi +\cos \left(-3\phi \right)

{\ displaystyle x = 3 \ cos \ phi + \ cos \ left (-3 \ phi \ right)}

{\ displaystyle x = 3 \ cos \ phi + \ cos \ left (-3 \ phi \ right)}

y=3\sin \phi +\sin \left(-3\phi \right)

{\ displaystyle y = 3 \ sin \ phi + \ sin \ left (-3 \ phi \ right)}

{\ displaystyle y = 3 \ sin \ phi + \ sin \ left (-3 \ phi \ right)}

de la care

x=4\cos ^{3}\phi {\frac {}{}}

{\ displaystyle x = 4 \ cos ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

{\ displaystyle x = 4 \ cos ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

y=4\sin ^{3}\phi {\frac {}{}}

{\ displaystyle y = 4 \ sin ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

{\ displaystyle y = 4 \ sin ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

și generalizând:

x=c\cos ^{3}\phi {\frac {}{}}

{\ displaystyle x = c \ cos ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

{\ displaystyle x = c \ cos ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

y=c\sin ^{3}\phi {\frac {}{}}

{\ displaystyle y = c \ sin ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

{\ displaystyle y = c \ sin ^ {3} \ phi {\ frac {} {}}}

cu $0\leq \phi <2\pi ,\quad c\in R^{+}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 \ pi, \ quad c \ in R ^ {+}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 \ pi, \ quad c \ in R ^ {+}}$ .

În timp ce în coordonatele polare devine:

r=r_{0}{\frac {|\sec \theta |}{\left(1+\tan ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}

{\ displaystyle r = r_ {0} {\ frac {| \ sec \ theta |} {\ left (1+ \ tan ^ {2/3} \ theta \ right) ^ {3/2}}}}

{\ displaystyle r = r_ {0} {\ frac {| \ sec \ theta |} {\ left (1+ \ tan ^ {2/3} \ theta \ right) ^ {3/2}}}}

cu $0\leq \theta <2\pi ,\quad r_{0}\in R^{+}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi, \ quad r_ {0} \ în R ^ {+}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi, \ quad r_ {0} \ în R ^ {+}}$

Ecuația sa carteziană este, în schimb:

x^{2/3}+y^{2/3}=c^{2/3}.{\frac {}{}}

{\ displaystyle x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = c ^ {2/3}. {\ frac {} {}}}

{\ displaystyle x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = c ^ {2/3}. {\ frac {} {}}}

Din această ultimă expresie este clar că astroidul este un caz particular al unei superelipse .

Astroidul poate fi, de asemenea, văzut ca generat de anvelopa segmentelor de o dimensiune atribuită cu extreme pe jumătăți de arbori. Sau ca anvelopa elipselor dispuse cu axele care coincid pe axele sistemului de referință.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe astroid

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, Astroid , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Imagini ale curbelor asociate cu astroidul (de exemplu, involut)
( RO ) Astroidul din toate sosurile , pe xahlee.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică