Epicicloid

Curba roșie este un epicicloid trasat prin rotirea cercului negru, cu raza r = 1, în jurul și în afara cercului albastru, cu raza R = 3.

Epicicloid cu trei cuspide generat de un cerc cu raza 2 care rulează pe un cerc cu raza 3.

În geometrie , un epicicloid este o curbă plană aparținând categoriei rolelor sau curbelor generate de un punct al unei figuri care se rostogolește pe altul. Epicicloida este de fapt definită ca curba generată de un punct al unei circumferințe care se rostogolește pe suprafața exterioară a unei alte circumferințe. Epicicloida poate fi văzută ca un caz special al epitrocoidului . Acest termen este, de asemenea, folosit pentru a indica curba pe care Luna o descrie în jurul Soarelui în mișcarea sa de translație; intersectează planul orbital al Pământului de 24-25 de ori pe an și este întotdeauna concav spre soare.

Epicicloida este un caz special al unui epitroid .

Cardioid este un anumit tip de epicicloidă cu un singur vârf .

Un epicicloidă și ei evoluate sunt similare .

Forma matematică

Reprezentarea parametrică a unui epicicloid generat dintr-un cerc cu o rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care se rostogolește pe o circumferință mai mare decât raza $R=kr$ ${\ displaystyle R = kr}$ ${\ displaystyle R = kr}$ este dat de

{\begin{cases}x(\theta )=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\y(\theta )=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (\ theta) = \ left (R + r \ right) \ cos \ theta -r \ cos \ left ({\ frac {R + r} {r}} \ theta \ dreapta) \\ y (\ theta) = \ left (R + r \ right) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {R + r} {r}} \ theta \ right) \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (\ theta) = \ left (R + r \ right) \ cos \ theta -r \ cos \ left ({\ frac {R + r} {r}} \ theta \ dreapta) \\ y (\ theta) = \ left (R + r \ right) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {R + r} {r}} \ theta \ right) \ end { cazuri}}}

sau

{\begin{cases}x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (\ theta) = r (k + 1) \ cos \ theta -r \ cos \ left ((k + 1) \ theta \ right) \\ y (\ theta) = r (k + 1) \ sin \ theta -r \ sin \ left ((k + 1) \ theta \ right) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (\ theta) = r (k + 1) \ cos \ theta -r \ cos \ left ((k + 1) \ theta \ right) \\ y (\ theta) = r (k + 1) \ sin \ theta -r \ sin \ left ((k + 1) \ theta \ right) \ end {cases}}}

Epicicloida este o funcție continuă și este diferențiată peste tot, cu excepția cuspizilor . Din ecuațiile parametrice se poate vedea cu ușurință că pentru $k\in \mathbb {N} ^{*}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ (mulțimea numerelor naturale fără zero) viteza punctului care descrie epicicloida la punctele cuspidei (care aparțin atât circumferinței de rulare, cât și celei fixe) este zero: tocmai condiția care satisface mișcarea de rulare pură (aceasta se aplică în mod natural la toate punctele circumferinței de rulare).

Exemple de epicicloizi

k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 2,1 = 21/10
k = 3,8 = 19/5
k = 5,5 = 11/2
k = 7,2 = 36/5

Demonstrație

Referindu-ne la imaginea din lateral, să presupunem că vrem să determinăm poziția $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Lasa-i sa fie $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ radianii arcului ale căror extreme sunt punctul de tangență și punctul mobil $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ radianii arcului ale căror extreme sunt intersecția cercului major cu semiaxa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pozitiv și punctul de tangență.