Hipocicloid

Hipocicloida este o curbă plană aparținând categoriei de role sau curbe generate de o figură care se rostogolește pe alta. Hipocicloida este de fapt definită ca curba generată de un punct al unei circumferințe care se rostogolește în interiorul unei alte circumferințe. Este un caz special de hipotrochoid .

Forma matematică

Două hipocicloide. Primul are o relație

a/b

{\ displaystyle a / b}

a / b

egal cu 5/3 și este o curbă închisă cu 5 cuspizi. Al doilea are un raport de rază irațională (1 / √ 2) și este o curbă deschisă cu un număr infinit de cuspizi (este prezentată doar o parte a graficului).

Reprezentarea parametrică a unui hipocicloid generat de un cerc cu o rază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ care se rostogolește (fără să se târască) pe o circumferință de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ (cu $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ ) este dat de:

{\begin{cases}x=\left(a-b\right)\cos \phi +b\cos \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)\\y=\left(a-b\right)\sin \phi -b\sin \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right).\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = \ left (ab \ right) \ cos \ phi + b \ cos \ left ({\ frac {ab} {b}} \ phi \ right) \\ y = \ left (ab \ right) \ sin \ phi -b \ sin \ left ({\ frac {ab} {b}} \ phi \ right). \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = \ left (ab \ right) \ cos \ phi + b \ cos \ left ({\ frac {ab} {b}} \ phi \ right) \\ y = \ left (ab \ right) \ sin \ phi -b \ sin \ left ({\ frac {ab} {b}} \ phi \ right). \ end {cases}}}

Hipocicloida este o funcție continuă și este diferențiată peste tot, cu excepția cuspizilor .

De sine ${\frac {a}{b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ frac {a} {b}}$ este un număr rațional atunci hipocicloida este o curbă închisă cu ${\frac {a}{b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ frac {a} {b}}$ cuspizi. În special dacă ${\frac {a}{b}}=n\in \mathbb {N} ,$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = n \ in \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = n \ in \ mathbb {N},}$ atunci hipocicloida are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cuspizi; dar dacă ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q\smallsetminus Z} ,$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ in \ mathbb {Q \ smallsetminus Z},}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ in \ mathbb {Q \ smallsetminus Z},}$ atunci hipocicloida are un număr de cuspizi egal cu numărătorul fracției de cel mai mic termen care derivă din ${\frac {a}{b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ frac {a} {b}}$ (deci presupunând $(a,b)=1$ ${\ displaystyle (a, b) = 1}$ ${\ displaystyle (a, b) = 1}$ avem exact $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ cuspizi). Dacă în schimb ${\frac {a}{b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ este un număr irațional , curba nu se închide niciodată.